Considere a função
. Determine o domínio e a imagem da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. A gente vai precisar entender dois conceitos principais: domínio e imagem de uma função. O domínio é como o conjunto de valores que a gente pode colocar na função, e a imagem é o conjunto de valores que a função pode retornar.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. Para isso, precisamos ver quais valores de
fazem a função funcionar direitinho sem causar problemas, como dividir por zero.
A função é
. O denominador é
. Sabemos que
é sempre positivo ou zero, então
nunca será zero. Isso significa que a gente não vai ter nenhuma divisão por zero, não importa qual valor de
a gente escolha.
Então, o domínio da função é todos os números reais. Em notação matemática, podemos escrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis resultados que
pode dar. Para isso, precisamos analisar como é o comportamento da função
.
Sabemos que
é sempre maior ou igual a zero, então
é sempre maior ou igual a 1. Isso significa que o denominador nunca será menor que 1, então
nunca será maior que 1.
Além disso, conforme
aumenta ou diminui sem limite (tende a infinito positivo ou negativo),
também aumenta, fazendo com que
se aproxime de zero, mas nunca chegue exatamente a zero.
Então, os valores que
pode assumir estão entre 0 e 1, inclusive 1, mas sem incluir 0.
Em notação matemática, a imagem é:
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: