Considere a função f(x) = 1/(1+x^2). Determine o domínio e a imagem da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . A gente vai precisar entender dois conceitos principais: domínio e imagem de uma função. O domínio é como o conjunto de valores que a gente pode colocar na função, e a imagem é o conjunto de valores que a função pode retornar.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. Para isso, precisamos ver quais valores de fazem a função funcionar direitinho sem causar problemas, como dividir por zero.
A função é . O denominador é . Sabemos que é sempre positivo ou zero, então nunca será zero. Isso significa que a gente não vai ter nenhuma divisão por zero, não importa qual valor de a gente escolha.
Então, o domínio da função é todos os números reais. Em notação matemática, podemos escrever isso como:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis resultados que pode dar. Para isso, precisamos analisar como é o comportamento da função .
Sabemos que é sempre maior ou igual a zero, então é sempre maior ou igual a 1. Isso significa que o denominador nunca será menor que 1, então nunca será maior que 1.
Além disso, conforme aumenta ou diminui sem limite (tende a infinito positivo ou negativo), também aumenta, fazendo com que se aproxime de zero, mas nunca chegue exatamente a zero.
Então, os valores que pode assumir estão entre 0 e 1, inclusive 1, mas sem incluir 0.
Em notação matemática, a imagem é:

Resposta

Domínio:
Imagem:

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