Determine todos os pontos em que a função é contínua.
c) g(x, y) = (5x*y^2 + 2y) / (16 - x^2 - 4y^2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir todos os pontos onde a função é contínua. Isso envolve entender onde a função está bem definida e não apresenta “quebras” ou “saltos”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Simplificando, uma função é contínua em um ponto se não tem interrupções nesse ponto. No caso das funções racionais (frações como a que temos aqui), a continuidade depende de onde o denominador não é zero, porque divisão por zero não está definida.

Passo 3

Agora, vamos identificar onde o denominador não é igual a zero. Se encontrarmos os valores de e que tornam o denominador zero, esses serão os pontos onde a função não é contínua.

Passo 4

Vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma elipse. Todos os pontos que satisfazem essa equação tornam o denominador zero, ou seja, a função não está definida nesses pontos.

Passo 5

Portanto, a função será contínua em todos os pontos que não estão sobre essa elipse. Em termos matemáticos, isso significa que a função é contínua para todos os tais que:

Resposta

A função é contínua em todos os pontos onde não é igual a 16. Ou seja, é contínua para todo que satisfaça:

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