Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é periódica. Se for, vamos descobrir qual é o período dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e períodos das funções seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função
é periódica se existe um número positivo
tal que
para todo
. Esse
é chamado de período da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte da função
.
-
A função
tem período . Isso significa que a cada unidades, a função se repete. -
Para
, temos , então o período é . -
Para
, temos , então o período é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar um período comum para as duas funções que formam
. Para isso, precisamos achar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos individuais.
-
Os períodos são 2 e
. -
Para encontrar o MMC de 2 e
, podemos transformar 2 em uma fração com denominador 3: . -
Agora, encontramos o MMC de
e . O MMC é o menor múltiplo que ambas as frações compartilham, que nesse caso é 2.
Passo 5
Portanto, o período da função
é 2. Isso significa que a função se repete a cada 2 unidades de
.
Resposta
A função
é periódica, e um período dela é
.