Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
H(x) = sen(pi x) + sen(3 pi x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é periódica. Se for, vamos descobrir qual é o período dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e períodos das funções seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica se existe um número positivo tal que para todo . Esse é chamado de período da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da função .
  • A função tem período . Isso significa que a cada unidades, a função se repete.
  • Para , temos , então o período é .
  • Para , temos , então o período é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar um período comum para as duas funções que formam . Para isso, precisamos achar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos individuais.
  • Os períodos são 2 e .
  • Para encontrar o MMC de 2 e , podemos transformar 2 em uma fração com denominador 3: .
  • Agora, encontramos o MMC de e . O MMC é o menor múltiplo que ambas as frações compartilham, que nesse caso é 2.

Passo 5

Portanto, o período da função é 2. Isso significa que a função se repete a cada 2 unidades de .

Resposta

A função é periódica, e um período dela é .

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