Considere a função
f(x)=(1x-1|x|)
Calcule lim x 0^+ f(x) e lim x 0^- f(x).

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
f(x) = (1x - 1|x|)
Nosso objetivo é calcular os limites de quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Vamos utilizar conceitos de limites e entender como o valor absoluto afeta a função dependendo do lado que estamos se aproximando de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta quando |x| = x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando f(x) = 1x - 1x = 0 é positivo ( ). Nesse caso, o valor absoluto de é simplesmente , já que é positivo.
Então, para :
Substituindo na função:
Portanto, quando se aproxima de 0 pela direita, tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando |x| = -x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando f(x) = 1x - 1-x = 1x + 1x = 2x é negativo ( ). Nesse caso, o valor absoluto de é , já que é negativo e o valor absoluto sempre dá um resultado positivo.
Então, para :
Substituindo na função:
Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda. Sabemos que está próximo de 0 e negativo, então será um número muito grande negativo.

Resposta

limx 0^+ f(x) = 0 e limx 0^- f(x) = -infty

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