Considere a função . Achar o raio de convergência da série anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio de convergência da série da função . Isso está ligado ao estudo de séries de potências, onde aprendemos sobre convergência e o raio que define onde a série converge. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar o raio de convergência de uma série e aplicar esse conceito à série de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde a série de potências converge. Para encontrá-lo, geralmente usamos o Teste da Razão, que é uma técnica padrão para determinar o raio.

Passo 3

Vamos relembrar o Teste da Razão: dado uma série , o raio de convergência é encontrado calculando o limite . Então, .

Passo 4

Agora, precisamos identificar os coeficientes da série de . Sabemos que:
Aqui, é o coeficiente binomial, que para valores não inteiros de , é definido como:

Passo 5

Com os coeficientes , aplicamos o Teste da Razão:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Então,

Passo 7

Agora, usando , temos:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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Considere a função . Determinar a série de Maclaurin de .
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