Use uma substituição trigonométrica conveniente e resolva as seguintes integrais.
integral 1x^2 cdot raizx^2-5 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, focando em substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que facilite a integração.

Passo 2

Observando a integral, notamos que temos . Isso sugere usar uma substituição trigonométrica do tipo . Essa escolha é útil porque a identidade trigonométrica simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Fazendo a substituição dx = raiz5 sec theta tan theta , dtheta , calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos integral 1(raiz5 sec theta)^2 cdot raiz(raiz5 sec theta)^2 - 5 cdot raiz5 sec theta tan theta , dtheta e integral 15 sec^2 theta cdot raiz5 sec^2 theta - 5 cdot raiz5 sec theta tan theta , dtheta na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz5 sec^2 theta - 5 = raiz5 (sec^2 theta - 1) = raiz5 tan^2 theta = raiz5 tan theta
Substituindo de volta na integral:
integral 15 sec^2 theta cdot raiz5 tan theta cdot raiz5 sec theta tan theta , dtheta

Passo 6

Cancelamos os termos semelhantes:
integral 15 sec^2 theta cdot raiz5 tan theta cdot raiz5 sec theta tan theta , dtheta = integral 15 sec theta , dtheta = 15 integral cos theta , dtheta

Passo 7

Integrando:
15 integral cos theta , dtheta = 15 sin theta + C

Passo 8

Voltando à variável original, lembramos que cos theta = raiz5x implies sin theta = raiz1 - cos^2 theta = raiz1 - 5x^2 = raizx^2 - 5x , então:
15 sin theta + C = 15 cdot raizx^2 - 5x + C = raizx^2 - 55x + C
Substituindo na solução:

Resposta

integral 1x^2 cdot raizx^2-5 d x = raizx^2 - 55x + C

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