Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos identificar partes da integral que correspondem a
e
na fórmula de integração por partes:
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o que será
e o que será
na nossa integral. A regra geral é escolher
como a parte que fica mais simples quando derivada, e
como a parte que podemos integrar facilmente.
Neste caso:
-
(pois sua derivada será mais simples) -
(pois a integral de é fácil de calcular)
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivada de
: -
Integral de
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral restante
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Finalmente, podemos fatorar
e simplificar a expressão:
Adicionando a constante de integração
:
Resposta
A integral
é igual a:
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Considere a função
. Achar o raio de convergência da série anterior.
Considere a função
. Determinar a série de Maclaurin
de
.