Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
integral x cdot e^4 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral u , dv = u cdot v - integral v , du usando a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula de integração por partes:

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será e o que será na nossa integral. A regra geral é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada, e como a parte que podemos integrar facilmente.
Neste caso:
  • (pois sua derivada será mais simples)
  • (pois a integral de é fácil de calcular)

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral e^4x , dx = 14 e^4x :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot e^4x , dx = x cdot ( 14 e^4x ) - integral ( 14 e^4x ) cdot 1 , dx
Simplificando:
= x4 e^4x - 14 integral e^4x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral restante integral e^4x , dx = 14 e^4x :
x4 e^4x - 14 cdot 14 e^4x = x4 e^4x - 116 e^4x
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Finalmente, podemos fatorar x4 e^4x - 116 e^4x = ( x4 - 116 ) e^4x e simplificar a expressão:
( x4 - 116 ) e^4x + C
Adicionando a constante de integração :

Resposta

A integral ( x4 - 116 ) e^4x + C é igual a:

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