Considere a função
. Determinar a série de Maclaurin
de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar a série de Maclaurin dessa função até o termo de quinto grau. Isso significa que vamos expandir a função em uma série polinomial em torno de
e incluir os termos até
. Para isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e calcular as derivadas necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos em potências de
, centrada em
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Como precisamos até o termo de quinto grau, vamos calcular as derivadas de
até a quinta derivada e avaliar cada uma delas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
- Quinta derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Agora, substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Resposta
A série de Maclaurin de
até o termo de quinto grau é:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Achar o raio de convergência da série anterior.
Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
Use uma substituição trigonométrica conveniente e resolva as seguintes integrais.
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.