Considere a função . Determinar a série de Maclaurin de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a série de Maclaurin dessa função até o termo de quinto grau. Isso significa que vamos expandir a função em uma série polinomial em torno de e incluir os termos até . Para isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e calcular as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos em potências de , centrada em . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Como precisamos até o termo de quinto grau, vamos calcular as derivadas de até a quinta derivada e avaliar cada uma delas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
  1. Quarta derivada:
  1. Quinta derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:

Resposta

A série de Maclaurin de até o termo de quinto grau é:

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