Considere a função
Calcule os limites e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos calcular dois limites: o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). Para isso, vamos usar as expressões que definem para e .

Passo 2

Vamos calcular primeiro o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, . Nesse caso, usamos a parte da função definida para :
Para encontrar o limite, substituímos por 2 nessa expressão:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita, ou seja, . Nesse caso, usamos a parte da função definida para :
Substituindo por 2 nessa expressão:

Resposta

Portanto, ambos os limites são iguais a 5. Ou seja,

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A função satisfaz que e . Podemos afirmar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que existe um número tal que ? Justifique.
Considere a função
O limite existe?
Seja . Calcule o limite .
Encontre um intervalo no qual a equação possua uma solução (raiz).
Justifique suas respostas, escreva com letras legiveis e seja organizado.