Considere a função
f(x)= x^2+1, & para x<2 2, & para x=2 9-x^2, & para x>2
Calcule os limites lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos calcular dois limites: o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). Para isso, vamos usar as expressões que definem para e .

Passo 2

Vamos calcular primeiro o limite quando f(x) = x^2 + 1 se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, limx 2^- f(x) = limx 2^- (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 . Nesse caso, usamos a parte da função definida para :
Para encontrar o limite, substituímos por 2 nessa expressão:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = 9 - x^2 se aproxima de 2 pela direita, ou seja, limx 2^+ f(x) = limx 2^+ (9 - x^2) = 9 - 2^2 = 9 - 4 = 5 . Nesse caso, usamos a parte da função definida para :
Substituindo por 2 nessa expressão:

Resposta

Portanto, ambos os limites são iguais a 5. Ou seja,
limx 2^- f(x) = 5 e limx 2^+ f(x) = 5

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