Seja f(x)=1x^2. Calcule o limite lim x 2 f(x)-f(2)x-2.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos a função e precisamos calcular o limite . Isso envolve trabalhar com limites e funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir lim x 2 1x^2 - 12^2x-2 e na expressão do limite:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Subtraindo as duas frações:
1x^2 - 14 = 4 - x^24x^2
Então, a expressão do limite fica:
lim x 2 4 - x^24x^2(x-2)

Passo 4

Vamos fatorar o numerador 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
lim x 2 (2 - x)(2 + x)4x^2(x-2)
Então, substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 5

Perceba que lim x 2 -(x - 2)(2 + x)4x^2(x-2) é o mesmo que . Então, podemos reescrever a expressão:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o lim x 2 -(2 + x)4x^2 que está no numerador e no denominador:

Resposta

Por fim, substituímos -(2 + 2)4 times 2^2 = -416 = -14 na expressão simplificada:
O limite é .

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