Considere a função f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 5.
Determine o(s) valor(es) x_0 tais que f'(x0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os valores de onde a derivada dessa função é igual a zero. Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente de derivadas, que nos ajudam a entender como a função está mudando em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada, denotada por , nos dá a taxa de variação da função em relação a . Para derivar , usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é .
Então, derivando cada termo da função:
Calculando cada derivada:
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os valores de onde . Ou seja, vamos resolver a equação:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Portanto, as soluções são:

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

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