Use as substituições trigonométricas para calcular: integral d xraiz(3+x^2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular a integral usando substituições trigonométricas. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais e substituições trigonométricas para simplificar a expressão e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz: x = raiz3 tantheta . Isso se parece com a forma , onde . Nesse caso, uma substituição trigonométrica útil é . Então, vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também encontrar dx = raiz3 sec^2theta dtheta em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir 3 + x^2 = 3 + 3 tan^2theta = 3(1 + tan^2theta) = 3 sec^2theta e raiz(3 + x^2)^3 = raiz(3 sec^2theta)^3 = raiz27 sec^6theta = 3 raiz3 sec^3theta na integral original. Primeiro, substituímos :
Portanto,

Passo 5

Substituindo tudo na integral:
integral dxraiz(3 + x^2)^3 = integral raiz3 sec^2theta dtheta3 raiz3 sec^3theta = integral sec^2theta3 sec^3theta raiz3 dtheta = integral 13 sectheta dtheta = 13 integral costheta dtheta

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
13 integral costheta dtheta = 13 sintheta + C

Passo 7

Precisamos voltar para a variável original x = raiz3 tantheta Rightarrow tantheta = xraiz3 . Sabemos que:
raizx^2 + 3
Usando um triângulo retângulo, onde o cateto oposto é sintheta = xraizx^2 + 3 e o cateto adjacente é , a hipotenusa será:
Então,

Passo 8

Substituindo de volta:
13 sintheta + C = 13 cdot xraizx^2 + 3 + C

Resposta

integral dxraiz(3 + x^2)^3 = x3 raizx^2 + 3 + C

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