Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular a integral
usando substituições trigonométricas. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais e substituições trigonométricas para simplificar a expressão e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz:
. Isso se parece com a forma
, onde
. Nesse caso, uma substituição trigonométrica útil é
. Então, vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos também encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original. Primeiro, substituímos
:
Portanto,
Passo 5
Substituindo tudo na integral:
Passo 6
Agora, a integral ficou mais simples:
Passo 7
Precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que:
Usando um triângulo retângulo, onde o cateto oposto é
e o cateto adjacente é
, a hipotenusa será:
Então,
Passo 8
Substituindo de volta: