Considere a função
:
(a) Determine a constante
de modo que
tenha um mínimo local em
.
(b) Determine a constante
de modo que
tenha um mínimo local em
.
© Mostre que
não terá máximo local para nenhum valor de
.
(a) Determine a constante
(b) Determine a constante
© Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A função é
. A gente precisa encontrar o valor da constante
para que a função tenha um mínimo local em
e em
. Além disso, temos que mostrar que essa função não tem máximo local para nenhum valor de
. Para resolver isso, vamos usar derivadas para encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a derivada é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
em relação a
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, a derivada da função é:
Passo 3
Para encontrar os mínimos locais em
, precisamos que a derivada
seja igual a zero. Vamos substituir
na derivada:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Então, para que
tenha um mínimo local em
, a constante
deve ser igual a 16.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos que a função tenha um mínimo local em
. Assim como antes, vamos definir a derivada igual a zero nesse ponto:
Passo 6
Resolvendo para
:
Portanto, para que
tenha um mínimo local em
, a constante
deve ser igual a -54.
Passo 7
Por fim, vamos para a parte ©. Precisamos mostrar que a função
não possui máximo local para nenhum valor de
. Para isso, vamos analisar a segunda derivada da função:
Para que exista um máximo local, além de
, a segunda derivada deve ser negativa nesse ponto. Porém, dependendo do valor de
e de
, podemos ver que a segunda derivada pode não ser negativa. Em particular, quando
é positivo e
é positivo,
tende a ser positiva, indicando um mínimo. Se
for negativo, mesmo assim, não conseguimos garantir que
seja negativa para todos os valores de
. Portanto, não existe um valor de
que faça a função ter um máximo local.
Resposta
(a) Para que
tenha um mínimo local em
, a constante
deve ser
.
(b) Para que
tenha um mínimo local em
, a constante
deve ser
.
© A função
não possui máximo local para nenhum valor de
.
Exercícios relacionados
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento das funções seguintes:
(a)
(b)
©
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Desafio: Ao meio-dia o barco
está a 64 km a oeste do barco
. O barco
navega para leste a
e o barco
navega para o norte a
. Qual é a taxa de variação da distância entre os barcos às
?
Determine as coordenadas do vértice da parábola
.
Seja
uma função contínua em
e derivável em
. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
(a) Se , então
é ponto de máximo ou mínimo local de
.
(b) Se , então
é um ponto de inflexão de
.
(a) Se
(b) Se