Considere a função :
(a) Determine a constante de modo que tenha um mínimo local em .
(b) Determine a constante de modo que tenha um mínimo local em .
© Mostre que não terá máximo local para nenhum valor de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A função é . A gente precisa encontrar o valor da constante para que a função tenha um mínimo local em e em . Além disso, temos que mostrar que essa função não tem máximo local para nenhum valor de . Para resolver isso, vamos usar derivadas para encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a derivada é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função em relação a . A derivada de é e a derivada de é . Então, a derivada da função é:

Passo 3

Para encontrar os mínimos locais em , precisamos que a derivada seja igual a zero. Vamos substituir na derivada:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para :
Então, para que tenha um mínimo local em , a constante deve ser igual a 16.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos que a função tenha um mínimo local em . Assim como antes, vamos definir a derivada igual a zero nesse ponto:

Passo 6

Resolvendo para :
Portanto, para que tenha um mínimo local em , a constante deve ser igual a -54.

Passo 7

Por fim, vamos para a parte ©. Precisamos mostrar que a função não possui máximo local para nenhum valor de . Para isso, vamos analisar a segunda derivada da função:
Para que exista um máximo local, além de , a segunda derivada deve ser negativa nesse ponto. Porém, dependendo do valor de e de , podemos ver que a segunda derivada pode não ser negativa. Em particular, quando é positivo e é positivo, tende a ser positiva, indicando um mínimo. Se for negativo, mesmo assim, não conseguimos garantir que seja negativa para todos os valores de . Portanto, não existe um valor de que faça a função ter um máximo local.

Resposta

(a) Para que tenha um mínimo local em , a constante deve ser .
(b) Para que tenha um mínimo local em , a constante deve ser .
© A função não possui máximo local para nenhum valor de .

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(a)
(b)
©
(d) .
(e) .
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Seja uma função contínua em e derivável em . Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
(a) Se , então é ponto de máximo ou mínimo local de .
(b) Se , então é um ponto de inflexão de .