Seja
uma função contínua em
e derivável em
. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
(a) Se
, então
é ponto de máximo ou mínimo local de
.
(b) Se
, então
é um ponto de inflexão de
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função contínua no intervalo
e que é diferenciável em todo ponto dentro desse intervalo (exceto possivelmente nas extremidades). O exercício traz duas afirmações sobre derivadas e pede para a gente decidir se são verdadeiras ou falsas, justificando. Vamos precisar entender sobre derivadas primeira e segunda, e como elas nos dizem algo sobre máximos, mínimos e pontos de inflexão da função.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Se , então
é ponto de máximo ou mínimo local de
.
(a) Se
Quando a derivada primeira de uma função em um ponto
é zero (
), isso significa que a reta tangente à curva nesse ponto é horizontal. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são candidatos a serem máximos ou mínimos locais. Mas, será que todo ponto crítico é realmente um máximo ou mínimo?
Passo 3
A resposta é não. Um ponto crítico onde a derivada primeira é zero pode ser um ponto de inflexão, onde a função muda a concavidade, mas não atinge um máximo ou mínimo local. Um exemplo clássico é a função
. Se derivarmos, temos
. Em
,
, mas
não é nem máximo nem mínimo - é um ponto de inflexão.
Passo 4
Portanto, a primeira afirmação é falsa. Ter
não garante que
seja um ponto de máximo ou mínimo local; pode ser apenas um ponto onde a inclinação é horizontal, mas sem extrema local.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se , então
é um ponto de inflexão de
.
(b) Se
A derivada segunda nos dá informações sobre a concavidade da função. Se
, isso sugere que pode haver uma mudança na concavidade, indicando um ponto de inflexão. Contudo, assim como no caso anterior, nem toda vez que a segunda derivada é zero ocorre um ponto de inflexão.
Passo 6
Para que
seja realmente um ponto de inflexão, a concavidade da função deve mudar quando passamos por
. Se a concavidade não muda (por exemplo, a função continua côncava para cima ou para baixo antes e depois de
), então
não é um ponto de inflexão, mesmo que
.
Passo 7
Um exemplo disso é a função
. A derivada segunda é
. Em
,
. Mas, analisando a concavidade, percebemos que a função é sempre côncava para cima, então não há mudança de concavidade. Logo,
não é um ponto de inflexão.
Passo 8
Assim, a segunda afirmação também é falsa. Ter
não garante que
seja um ponto de inflexão; é necessário verificar se realmente há uma mudança na concavidade da função nesse ponto.
Resposta
Ambas as afirmações são falsas. Ter
não garante que
seja um máximo ou mínimo local, e ter
não garante que
seja um ponto de inflexão.