Seja
uma função contínua em
e derivável em
. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
(a) Se
, então
é ponto de máximo ou mínimo local de
.
(b) Se
, então
é um ponto de inflexão de
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função contínua no intervalo
e que é diferenciável em todo ponto dentro desse intervalo (exceto possivelmente nas extremidades). O exercício traz duas afirmações sobre derivadas e pede para a gente decidir se são verdadeiras ou falsas, justificando. Vamos precisar entender sobre derivadas primeira e segunda, e como elas nos dizem algo sobre máximos, mínimos e pontos de inflexão da função.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Se , então
é ponto de máximo ou mínimo local de
.
(a) Se
Quando a derivada primeira de uma função em um ponto
é zero (
), isso significa que a reta tangente à curva nesse ponto é horizontal. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são candidatos a serem máximos ou mínimos locais. Mas, será que todo ponto crítico é realmente um máximo ou mínimo?
Passo 3
A resposta é não. Um ponto crítico onde a derivada primeira é zero pode ser um ponto de inflexão, onde a função muda a concavidade, mas não atinge um máximo ou mínimo local. Um exemplo clássico é a função
. Se derivarmos, temos
. Em
,
, mas
não é nem máximo nem mínimo - é um ponto de inflexão.
Passo 4
Portanto, a primeira afirmação é falsa. Ter
não garante que
seja um ponto de máximo ou mínimo local; pode ser apenas um ponto onde a inclinação é horizontal, mas sem extrema local.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se , então
é um ponto de inflexão de
.
(b) Se
A derivada segunda nos dá informações sobre a concavidade da função. Se
, isso sugere que pode haver uma mudança na concavidade, indicando um ponto de inflexão. Contudo, assim como no caso anterior, nem toda vez que a segunda derivada é zero ocorre um ponto de inflexão.
Passo 6
Para que
seja realmente um ponto de inflexão, a concavidade da função deve mudar quando passamos por
. Se a concavidade não muda (por exemplo, a função continua côncava para cima ou para baixo antes e depois de
), então
não é um ponto de inflexão, mesmo que
.
Passo 7
Um exemplo disso é a função
. A derivada segunda é
. Em
,
. Mas, analisando a concavidade, percebemos que a função é sempre côncava para cima, então não há mudança de concavidade. Logo,
não é um ponto de inflexão.
Passo 8
Assim, a segunda afirmação também é falsa. Ter
não garante que
seja um ponto de inflexão; é necessário verificar se realmente há uma mudança na concavidade da função nesse ponto.
Resposta
Ambas as afirmações são falsas. Ter
não garante que
seja um máximo ou mínimo local, e ter
não garante que
seja um ponto de inflexão.
Exercícios relacionados
Determine as coordenadas do vértice da parábola
.
Considere a função
:
(a) Determine a constante de modo que
tenha um mínimo local em
.
(b) Determine a constante de modo que
tenha um mínimo local em
.
© Mostre que não terá máximo local para nenhum valor de
.
(a) Determine a constante
(b) Determine a constante
© Mostre que
Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro
é dado.
No início da década de 1990, um petroleiro colidiu com um barco da Guarda Costeira na costa da Califórnia. O petroleiro desativado estava derramando óleo do casco danificado. A taxa de fluxo de petróleo no Oceano Pacífico, na costa da Califórnia, foi medida em vários intervalos de tempo diferentes no terceiro dia após o acidente. As taxas estão listadas na tabela abaixo. (Esses são dados hipotéticos.)
Tempo | 21 h | 22 h | 23 h | 24 h | 1 h | 2 h | 3 h | 4 h | 5 h | 6 h | 7 h |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Quantidade (100 gal/hora) | 4,0 | 4,0 | 3,8 | 3,6 | 3,0 | 2,0 | 0,6 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,0 |
Estime a quantidade total de óleo derramado durante o período de dez horas coberto pela tabela. O que você pode dizer sobre o erro envolvido em sua estimativa?