Seja f : [a, b] -> R uma função contínua em [a, b] e derivável em a, b (aberto). Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
(a) Se f'(c) = 0, então c é ponto de máximo ou mínimo local de f.
(b) Se f''(c) = 0, então c é um ponto de inflexão de f.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função contínua no intervalo e que é diferenciável em todo ponto dentro desse intervalo (exceto possivelmente nas extremidades). O exercício traz duas afirmações sobre derivadas e pede para a gente decidir se são verdadeiras ou falsas, justificando. Vamos precisar entender sobre derivadas primeira e segunda, e como elas nos dizem algo sobre máximos, mínimos e pontos de inflexão da função.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Se , então é ponto de máximo ou mínimo local de .
Quando a derivada primeira de uma função em um ponto é zero ( ), isso significa que a reta tangente à curva nesse ponto é horizontal. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são candidatos a serem máximos ou mínimos locais. Mas, será que todo ponto crítico é realmente um máximo ou mínimo?

Passo 3

A resposta é não. Um ponto crítico onde a derivada primeira é zero pode ser um ponto de inflexão, onde a função muda a concavidade, mas não atinge um máximo ou mínimo local. Um exemplo clássico é a função . Se derivarmos, temos . Em , , mas não é nem máximo nem mínimo - é um ponto de inflexão.

Passo 4

Portanto, a primeira afirmação é falsa. Ter não garante que seja um ponto de máximo ou mínimo local; pode ser apenas um ponto onde a inclinação é horizontal, mas sem extrema local.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se , então é um ponto de inflexão de .
A derivada segunda nos dá informações sobre a concavidade da função. Se , isso sugere que pode haver uma mudança na concavidade, indicando um ponto de inflexão. Contudo, assim como no caso anterior, nem toda vez que a segunda derivada é zero ocorre um ponto de inflexão.

Passo 6

Para que seja realmente um ponto de inflexão, a concavidade da função deve mudar quando passamos por . Se a concavidade não muda (por exemplo, a função continua côncava para cima ou para baixo antes e depois de ), então não é um ponto de inflexão, mesmo que .

Passo 7

Um exemplo disso é a função . A derivada segunda é . Em , . Mas, analisando a concavidade, percebemos que a função é sempre côncava para cima, então não há mudança de concavidade. Logo, não é um ponto de inflexão.

Passo 8

Assim, a segunda afirmação também é falsa. Ter não garante que seja um ponto de inflexão; é necessário verificar se realmente há uma mudança na concavidade da função nesse ponto.

Resposta

Ambas as afirmações são falsas. Ter não garante que seja um máximo ou mínimo local, e ter não garante que seja um ponto de inflexão.

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