Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
© Estude a concavidade de
. Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
.
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
.
(f) Determine as raízes (caso existam) de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função
e pede para analisarmos vários aspectos dela, como domínio, pontos críticos, concavidade, assíntotas e raízes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar extremos e estudar crescimento, além de entender assíntotas e soluções de equações.
Passo 2
(a) Encontrar o domínio de
.
Para descobrir o domínio da função, precisamos identificar todos os valores de
para os quais
está definida.
A função é
. Aqui, temos duas coisas a considerar:
- A raiz quadrada
só está definida quando , ou seja, . - O denominador não pode ser zero, então
-> -> .
Juntando essas duas condições, o domínio de
é todos os
tais que
.
Passo 3
(b) Identificar os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
para identificar os pontos críticos.
A função é
.
Usando a regra do produto e a regra da potência:
Simplificando:
Colocando em evidência
:
Pontos críticos ocorrem onde
ou onde
não está definida.
-
quando -> ou . Mas lembrando que , descartamos . Então, é ponto crítico. -
não está definida em , mas esse ponto já não está no domínio.
Para determinar se
é máximo ou mínimo, analisamos a derivada:
- Para
, mas maior que -1, é negativo, indicando que a função está decrescendo. - Para
, é positivo, indicando que a função está crescendo.
Então, em
temos um ponto de mínimo relativo.
Intervalos:
- Crescente em
- Decrescente em
Passo 4
© Estudar a concavidade de
. Existem pontos de inflexão?
Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada
.
A derivada primeira que encontramos foi:
Derivando novamente:
Usamos a regra do quociente:
Após simplificar, encontramos a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Após os cálculos, verificamos que a concavidade muda em um ponto específico, indicando um ponto de inflexão.
Conclusão: Há um ponto de inflexão em
, mas como esse valor não está no domínio (
), na verdade, não há pontos de inflexão dentro do domínio da função.
Passo 5
(d) Determinar as assíntotas verticais de
.
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não.
A função é
.
O denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de
.
Analisando o comportamento próximo a
:
Portanto, há uma assíntota vertical em
.
Passo 6
(e) Determinar as assíntotas horizontais de
.
Assíntotas horizontais são verificadas observando o limite de
quando
tende ao infinito ou menos infinito.
Como o domínio é
, vamos analisar
:
Como o limite tende ao infinito, não há assíntotas horizontais.
Passo 7
(f) Determinar as raízes de
.
As raízes da função são os valores de
que fazem
.
O numerador deve ser zero:
Portanto, a única raiz de
é
.
Resposta
(a) O domínio de
é
.
(b) Há um ponto crítico em
, que é um ponto de mínimo relativo. A função é crescente em
e decrescente em
.
© A função não possui pontos de inflexão no domínio analisado.
(d) Há uma assíntota vertical em
.
(e) Não existem assíntotas horizontais para
.
(f) A única raiz de
é
.