Considere a função cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função e pede para analisarmos vários aspectos dela, como domínio, pontos críticos, concavidade, assíntotas e raízes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar extremos e estudar crescimento, além de entender assíntotas e soluções de equações.

Passo 2

(a) Encontrar o domínio de .

Para descobrir o domínio da função, precisamos identificar todos os valores de para os quais está definida.
A função é . Aqui, temos duas coisas a considerar:
  1. A raiz quadrada só está definida quando , ou seja, .
  2. O denominador não pode ser zero, então -> -> .
Juntando essas duas condições, o domínio de é todos os tais que .

Passo 3

(b) Identificar os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .

Primeiro, vamos encontrar a derivada de para identificar os pontos críticos.
A função é .
Usando a regra do produto e a regra da potência:
Simplificando:
Colocando em evidência :
Pontos críticos ocorrem onde ou onde não está definida.
  1. quando -> ou . Mas lembrando que , descartamos . Então, é ponto crítico.
  2. não está definida em , mas esse ponto já não está no domínio.
Para determinar se é máximo ou mínimo, analisamos a derivada:
  • Para , mas maior que -1, é negativo, indicando que a função está decrescendo.
  • Para , é positivo, indicando que a função está crescendo.
Então, em temos um ponto de mínimo relativo.
Intervalos:
  • Crescente em
  • Decrescente em

Passo 4

© Estudar a concavidade de . Existem pontos de inflexão?

Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada .
A derivada primeira que encontramos foi:
Derivando novamente:
Usamos a regra do quociente:
Após simplificar, encontramos a concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Após os cálculos, verificamos que a concavidade muda em um ponto específico, indicando um ponto de inflexão.
Conclusão: Há um ponto de inflexão em , mas como esse valor não está no domínio ( ), na verdade, não há pontos de inflexão dentro do domínio da função.

Passo 5

(d) Determinar as assíntotas verticais de .

Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não.
A função é .
O denominador se aproxima de zero quando se aproxima de .
Analisando o comportamento próximo a :
Portanto, há uma assíntota vertical em .

Passo 6

(e) Determinar as assíntotas horizontais de .

Assíntotas horizontais são verificadas observando o limite de quando tende ao infinito ou menos infinito.
Como o domínio é , vamos analisar :
Como o limite tende ao infinito, não há assíntotas horizontais.

Passo 7

(f) Determinar as raízes de .

As raízes da função são os valores de que fazem .
O numerador deve ser zero:
Portanto, a única raiz de é .

Resposta

(a) O domínio de é .
(b) Há um ponto crítico em , que é um ponto de mínimo relativo. A função é crescente em e decrescente em .
© A função não possui pontos de inflexão no domínio analisado.
(d) Há uma assíntota vertical em .
(e) Não existem assíntotas horizontais para .
(f) A única raiz de é .

Exercícios relacionados

Considere a função cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva, dada por , é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?
Considere a função cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
ache os números críticos da função: