Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
© Estude a concavidade de
. Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
.
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
.
(f) Determine as raízes (caso existam) de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função
e pede para analisarmos vários aspectos dela, como domínio, pontos críticos, concavidade, assíntotas e raízes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar extremos e estudar crescimento, além de entender assíntotas e soluções de equações.
Passo 2
(a) Encontrar o domínio de
.
Para descobrir o domínio da função, precisamos identificar todos os valores de
para os quais
está definida.
A função é
. Aqui, temos duas coisas a considerar:
- A raiz quadrada
só está definida quando , ou seja, . - O denominador não pode ser zero, então
-> -> .
Juntando essas duas condições, o domínio de
é todos os
tais que
.
Passo 3
(b) Identificar os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
para identificar os pontos críticos.
A função é
.
Usando a regra do produto e a regra da potência:
Simplificando:
Colocando em evidência
:
Pontos críticos ocorrem onde
ou onde
não está definida.
-
quando -> ou . Mas lembrando que , descartamos . Então, é ponto crítico. -
não está definida em , mas esse ponto já não está no domínio.
Para determinar se
é máximo ou mínimo, analisamos a derivada:
- Para
, mas maior que -1, é negativo, indicando que a função está decrescendo. - Para
, é positivo, indicando que a função está crescendo.
Então, em
temos um ponto de mínimo relativo.
Intervalos:
- Crescente em
- Decrescente em
Passo 4
© Estudar a concavidade de
. Existem pontos de inflexão?
Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada
.
A derivada primeira que encontramos foi:
Derivando novamente:
Usamos a regra do quociente:
Após simplificar, encontramos a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Após os cálculos, verificamos que a concavidade muda em um ponto específico, indicando um ponto de inflexão.
Conclusão: Há um ponto de inflexão em
, mas como esse valor não está no domínio (
), na verdade, não há pontos de inflexão dentro do domínio da função.
Passo 5
(d) Determinar as assíntotas verticais de
.
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não.
A função é
.
O denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de
.
Analisando o comportamento próximo a
:
Portanto, há uma assíntota vertical em
.
Passo 6
(e) Determinar as assíntotas horizontais de
.
Assíntotas horizontais são verificadas observando o limite de
quando
tende ao infinito ou menos infinito.
Como o domínio é
, vamos analisar
:
Como o limite tende ao infinito, não há assíntotas horizontais.
Passo 7
(f) Determinar as raízes de
.
As raízes da função são os valores de
que fazem
.
O numerador deve ser zero:
Portanto, a única raiz de
é
.
Resposta
(a) O domínio de
é
.
(b) Há um ponto crítico em
, que é um ponto de mínimo relativo. A função é crescente em
e decrescente em
.
© A função não possui pontos de inflexão no domínio analisado.
(d) Há uma assíntota vertical em
.
(e) Não existem assíntotas horizontais para
.
(f) A única raiz de
é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de
Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva, dada por
, é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?
Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de
ache os números críticos da função: