Considere a função cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! Temos a função e precisamos resolver várias partes sobre ela. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de domínio de funções, derivadas para encontrar pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, e análise de assíntotas e raízes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontre o domínio de .
Primeiro, o domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
Temos:
Para que a função esteja definida:
Resposta da parte (a):
O domínio de é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Parte (b): Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
Vamos precisar da derivada de para encontrar os pontos críticos, que são pontos onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicamos a regra do quociente:
Agora, encontramos onde ou não existe.
A derivada não existe em e , mas esses pontos já estão excluídos do domínio.
Ponto crítico:
Agora, vamos determinar se este ponto é um máximo ou mínimo relativo. Vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos em torno de .
  • Para : (pois negativo e o denominador sempre positivo)
  • Para :
Isso indica que a função está crescendo antes de e decrescendo depois, então é um ponto de máximo relativo.
Intervalos:
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
Resposta da parte (b):
  • Ponto crítico:
  • Máximo relativo em
  • Intervalo de crescimento:
  • Intervalo de decrescimento:

Passo 4

Parte ©: Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada .
Já temos a primeira derivada:
Vamos derivar novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de :
  • indica concavidade para cima
  • indica concavidade para baixo
Vamos encontrar os pontos onde :
Possíveis pontos de inflexão:
e
Verificamos as mudanças na concavidade:
  • Para : → Concavidade para baixo
  • Para : → Concavidade para cima
Resposta da parte ©:
  • Concavidade para baixo em
  • Concavidade para cima em e
  • Pontos de inflexão em e

Passo 5

Parte (d): Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
Assíntotas verticais ocorrem onde a função cresce indefinidamente, geralmente onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Temos a função:
O denominador é zero quando:
Verificamos o comportamento perto desses pontos:
  • Ao aproximar de 1 por valores maiores que 1, o denominador tende a zero positivo, então tende a .
  • Ao aproximar de 1 por valores menores que 1, o denominador tende a zero negativo, então tende a .
  • O mesmo acontece com .
Resposta da parte (d):
As assíntotas verticais de são e .

Passo 6

Parte (e): Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
Assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando tende a .
Analisamos o limite de quando vai para e :
Dividimos numerador e denominador por :
Agora, quando tende a ou , tende a zero:
Resposta da parte (e):
A assíntota horizontal de é .

Passo 7

Parte (f): Determine as raízes (caso existam) de .
As raízes da função são os valores de onde .
Temos:
A fração será zero quando o numerador for zero e o denominador for diferente de zero.
Verificamos que está no domínio da função (não está em ).
Resposta da parte (f):
A raiz de é .

Resposta

Concluímos todas as partes do exercício sobre a função , analisando seu domínio, pontos críticos, concavidade, assíntotas e raízes conforme detalhado nos passos acima.

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(a) Encontre o domínio de .
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(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
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(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .