Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
© Estude a concavidade de
. Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
.
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
.
(f) Determine as raízes (caso existam) de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! Temos a função
e precisamos resolver várias partes sobre ela. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de domínio de funções, derivadas para encontrar pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, e análise de assíntotas e raízes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Encontre o domínio de
.
Primeiro, o domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
Temos:
Para que a função esteja definida:
Resposta da parte (a):
O domínio de é todos os números reais exceto
e
.
O domínio de
Passo 3
Parte (b): Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Vamos precisar da derivada de
para encontrar os pontos críticos, que são pontos onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicamos a regra do quociente:
Agora, encontramos onde
ou não existe.
A derivada não existe em
e
, mas esses pontos já estão excluídos do domínio.
Ponto crítico:
Agora, vamos determinar se este ponto é um máximo ou mínimo relativo. Vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos em torno de
.
- Para
: (pois negativo e o denominador sempre positivo) - Para
:
Isso indica que a função está crescendo antes de
e decrescendo depois, então
é um ponto de máximo relativo.
Intervalos:
- Crescimento:
- Decrescimento:
Resposta da parte (b):
- Ponto crítico:
- Máximo relativo em
- Intervalo de crescimento:
- Intervalo de decrescimento:
Passo 4
Parte ©: Estude a concavidade de
. Existem pontos de inflexão? Justifique!
Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada
.
Já temos a primeira derivada:
Vamos derivar novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de
:
-
indica concavidade para cima -
indica concavidade para baixo
Vamos encontrar os pontos onde
:
Possíveis pontos de inflexão:
e
Verificamos as mudanças na concavidade:
- Para
: → → Concavidade para baixo - Para
: → → Concavidade para cima
Resposta da parte ©:
- Concavidade para baixo em
- Concavidade para cima em
e - Pontos de inflexão em
e
Passo 5
Parte (d): Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
.
Assíntotas verticais ocorrem onde a função cresce indefinidamente, geralmente onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Temos a função:
O denominador é zero quando:
Verificamos o comportamento perto desses pontos:
- Ao aproximar
de 1 por valores maiores que 1, o denominador tende a zero positivo, então tende a . - Ao aproximar
de 1 por valores menores que 1, o denominador tende a zero negativo, então tende a . - O mesmo acontece com
.
Resposta da parte (d):
As assíntotas verticais de são
e
.
As assíntotas verticais de
Passo 6
Parte (e): Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
.
Assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando
tende a
.
Analisamos o limite de
quando
vai para
e
:
Dividimos numerador e denominador por
:
Agora, quando
tende a
ou
,
tende a zero:
Resposta da parte (e):
A assíntota horizontal de é
.
A assíntota horizontal de
Passo 7
Parte (f): Determine as raízes (caso existam) de
.
As raízes da função são os valores de
onde
.
Temos:
A fração será zero quando o numerador for zero e o denominador for diferente de zero.
Verificamos que
está no domínio da função (não está em
).
Resposta da parte (f):
A raiz de é
.
A raiz de
Resposta
Concluímos todas as partes do exercício sobre a função
, analisando seu domínio, pontos críticos, concavidade, assíntotas e raízes conforme detalhado nos passos acima.
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Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva, dada por
, é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?
Se
, prove que
satisfaz a equação diferencial parcial
Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de
Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de