Considere a função f(x) = 2 x^2 / (x^2 - 1) cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de f.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
© Estude a concavidade de f. Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de f.
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de f.
(f) Determine as raízes (caso existam) de f.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! Temos a função e precisamos resolver várias partes sobre ela. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de domínio de funções, derivadas para encontrar pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, e análise de assíntotas e raízes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontre o domínio de .
Primeiro, o domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
Temos:
Para que a função esteja definida:
Resposta da parte (a):
O domínio de é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Parte (b): Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
Vamos precisar da derivada de para encontrar os pontos críticos, que são pontos onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicamos a regra do quociente:
Agora, encontramos onde ou não existe.
A derivada não existe em e , mas esses pontos já estão excluídos do domínio.
Ponto crítico:
Agora, vamos determinar se este ponto é um máximo ou mínimo relativo. Vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos em torno de .
  • Para : (pois negativo e o denominador sempre positivo)
  • Para :
Isso indica que a função está crescendo antes de e decrescendo depois, então é um ponto de máximo relativo.
Intervalos:
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
Resposta da parte (b):
  • Ponto crítico:
  • Máximo relativo em
  • Intervalo de crescimento:
  • Intervalo de decrescimento:

Passo 4

Parte ©: Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada .
Já temos a primeira derivada:
Vamos derivar novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de :
  • indica concavidade para cima
  • indica concavidade para baixo
Vamos encontrar os pontos onde :
Possíveis pontos de inflexão:
e
Verificamos as mudanças na concavidade:
  • Para : → Concavidade para baixo
  • Para : → Concavidade para cima
Resposta da parte ©:
  • Concavidade para baixo em
  • Concavidade para cima em e
  • Pontos de inflexão em e

Passo 5

Parte (d): Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
Assíntotas verticais ocorrem onde a função cresce indefinidamente, geralmente onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Temos a função:
O denominador é zero quando:
Verificamos o comportamento perto desses pontos:
  • Ao aproximar de 1 por valores maiores que 1, o denominador tende a zero positivo, então tende a .
  • Ao aproximar de 1 por valores menores que 1, o denominador tende a zero negativo, então tende a .
  • O mesmo acontece com .
Resposta da parte (d):
As assíntotas verticais de são e .

Passo 6

Parte (e): Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
Assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando tende a .
Analisamos o limite de quando vai para e :
Dividimos numerador e denominador por :
Agora, quando tende a ou , tende a zero:
Resposta da parte (e):
A assíntota horizontal de é .

Passo 7

Parte (f): Determine as raízes (caso existam) de .
As raízes da função são os valores de onde .
Temos:
A fração será zero quando o numerador for zero e o denominador for diferente de zero.
Verificamos que está no domínio da função (não está em ).
Resposta da parte (f):
A raiz de é .

Resposta

Concluímos todas as partes do exercício sobre a função , analisando seu domínio, pontos críticos, concavidade, assíntotas e raízes conforme detalhado nos passos acima.

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