Considere a função f(x) = x * e^x cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de f.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
© Estude a concavidade de f. Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de f.
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de f.
(f) Determine as raízes (caso existam) de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . Esse exercício envolve vários conceitos de cálculo, como domínio da função, derivadas para encontrar pontos críticos, crescimento e decrescimento, concavidade, assíntotas e raízes. Vamos precisar usar conceitos de derivadas, análise de funções exponenciais e propriedades das assíntotas. Vamos lá!

Passo 2

(a) Encontrar o domínio de .
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para , temos duas partes: e .
A função exponencial está definida para todo número real, ou seja, pode ser qualquer número real. A multiplicação de também não impõe restrições, já que pode assumir qualquer valor real.
Resposta para (a): O domínio de é , ou seja, todos os números reais.

Passo 3

(b) Identificar os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
Para encontrar os pontos críticos e os extremos, precisamos calcular a primeira derivada de e analisar onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, calculamos :
Agora, encontramos onde :
Sabemos que nunca é zero, então devemos resolver:
Então, temos um ponto crítico em .
Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, analisamos a derivada segunda ou observamos o comportamento da primeira derivada ao redor do ponto crítico.
Vamos observar o sinal de :
  • Para , , então (função decresce).
  • Para , , então (função cresce).
Isso indica que em ocorre um mínimo relativo.
Intervados de crescimento e decrescimento:
  • Decrescendo:
  • Crescendo:
Resposta para (b): A função tem um ponto crítico em , que é um mínimo relativo. A função está decrescendo para e crescendo para .

Passo 4

© Estudar a concavidade de . Existem pontos de inflexão?
Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada de .
Calculando a primeira derivada novamente:
Agora, a segunda derivada:
Agora, encontramos onde :
Como nunca é zero, resolvemos:
Esse é um possível ponto de inflexão. Para confirmar, analisamos o sinal de :
  • Para , , então (concavidade para baixo).
  • Para , , então (concavidade para cima).
Como a concavidade muda em , existe um ponto de inflexão nesse ponto.
Resposta para ©: A função é côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Assim, existe um ponto de inflexão em .

Passo 5

(d) Determinar as assíntotas verticais de .
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente em pontos onde o denominador de uma fração se anula. Porém, nossa função é , que é uma função polinomial multiplicada pela exponencial, sem denominadores.
Como nunca é zero e não temos denominadores, não há valores de que causem descontinuidade na função.
Resposta para (d): Não existem assíntotas verticais para .

Passo 6

(e) Determinar as assíntotas horizontais de .
Assíntotas horizontais se referem ao comportamento da função quando tende a ou .
Vamos analisar os limites:
áô
Portanto, há uma assíntota horizontal quando .
Resposta para (e): A função possui uma assíntota horizontal em quando tende a .

Passo 7

(f) Determinar as raízes de .
As raízes da função são os valores de para os quais .
Sabemos que nunca é zero, então a equação se anula quando .
Resposta para (f): A única raiz de é .

Resposta

Concluímos todas as partes do exercício conforme explicado acima.

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