Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
© Estude a concavidade de
. Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
.
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
.
(f) Determine as raízes (caso existam) de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. Esse exercício envolve vários conceitos de cálculo, como domínio da função, derivadas para encontrar pontos críticos, crescimento e decrescimento, concavidade, assíntotas e raízes. Vamos precisar usar conceitos de derivadas, análise de funções exponenciais e propriedades das assíntotas. Vamos lá!
Passo 2
(a) Encontrar o domínio de
.
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para
, temos duas partes:
e
.
A função exponencial
está definida para todo número real, ou seja,
pode ser qualquer número real. A multiplicação de
também não impõe restrições, já que
pode assumir qualquer valor real.
Resposta para (a): O domínio de
é
, ou seja, todos os números reais.
Passo 3
(b) Identificar os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Para encontrar os pontos críticos e os extremos, precisamos calcular a primeira derivada de
e analisar onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, calculamos
:
Agora, encontramos onde
:
Sabemos que
nunca é zero, então devemos resolver:
Então, temos um ponto crítico em
.
Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, analisamos a derivada segunda ou observamos o comportamento da primeira derivada ao redor do ponto crítico.
Vamos observar o sinal de
:
- Para
, , então (função decresce). - Para
, , então (função cresce).
Isso indica que em
ocorre um mínimo relativo.
Intervados de crescimento e decrescimento:
- Decrescendo:
- Crescendo:
Resposta para (b): A função tem um ponto crítico em
, que é um mínimo relativo. A função está decrescendo para
e crescendo para
.
Passo 4
© Estudar a concavidade de
. Existem pontos de inflexão?
Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada de
.
Calculando a primeira derivada novamente:
Agora, a segunda derivada:
Agora, encontramos onde
:
Como
nunca é zero, resolvemos:
Esse é um possível ponto de inflexão. Para confirmar, analisamos o sinal de
:
- Para
, , então (concavidade para baixo). - Para
, , então (concavidade para cima).
Como a concavidade muda em
, existe um ponto de inflexão nesse ponto.
Resposta para ©: A função é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. Assim, existe um ponto de inflexão em
.
Passo 5
(d) Determinar as assíntotas verticais de
.
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente em pontos onde o denominador de uma fração se anula. Porém, nossa função é
, que é uma função polinomial multiplicada pela exponencial, sem denominadores.
Como
nunca é zero e não temos denominadores, não há valores de
que causem descontinuidade na função.
Resposta para (d): Não existem assíntotas verticais para
.
Passo 6
(e) Determinar as assíntotas horizontais de
.
Assíntotas horizontais se referem ao comportamento da função quando
tende a
ou
.
Vamos analisar os limites:
Portanto, há uma assíntota horizontal quando
.
Resposta para (e): A função possui uma assíntota horizontal em
quando
tende a
.
Passo 7
(f) Determinar as raízes de
.
As raízes da função são os valores de
para os quais
.
Sabemos que
nunca é zero, então a equação se anula quando
.
Resposta para (f): A única raiz de
é
.
Resposta
Concluímos todas as partes do exercício conforme explicado acima.