Considere a função cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . Esse exercício envolve vários conceitos de cálculo, como domínio da função, derivadas para encontrar pontos críticos, crescimento e decrescimento, concavidade, assíntotas e raízes. Vamos precisar usar conceitos de derivadas, análise de funções exponenciais e propriedades das assíntotas. Vamos lá!

Passo 2

(a) Encontrar o domínio de .
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para , temos duas partes: e .
A função exponencial está definida para todo número real, ou seja, pode ser qualquer número real. A multiplicação de também não impõe restrições, já que pode assumir qualquer valor real.
Resposta para (a): O domínio de é , ou seja, todos os números reais.

Passo 3

(b) Identificar os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
Para encontrar os pontos críticos e os extremos, precisamos calcular a primeira derivada de e analisar onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, calculamos :
Agora, encontramos onde :
Sabemos que nunca é zero, então devemos resolver:
Então, temos um ponto crítico em .
Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, analisamos a derivada segunda ou observamos o comportamento da primeira derivada ao redor do ponto crítico.
Vamos observar o sinal de :
  • Para , , então (função decresce).
  • Para , , então (função cresce).
Isso indica que em ocorre um mínimo relativo.
Intervados de crescimento e decrescimento:
  • Decrescendo:
  • Crescendo:
Resposta para (b): A função tem um ponto crítico em , que é um mínimo relativo. A função está decrescendo para e crescendo para .

Passo 4

© Estudar a concavidade de . Existem pontos de inflexão?
Para estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada de .
Calculando a primeira derivada novamente:
Agora, a segunda derivada:
Agora, encontramos onde :
Como nunca é zero, resolvemos:
Esse é um possível ponto de inflexão. Para confirmar, analisamos o sinal de :
  • Para , , então (concavidade para baixo).
  • Para , , então (concavidade para cima).
Como a concavidade muda em , existe um ponto de inflexão nesse ponto.
Resposta para ©: A função é côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Assim, existe um ponto de inflexão em .

Passo 5

(d) Determinar as assíntotas verticais de .
Assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente em pontos onde o denominador de uma fração se anula. Porém, nossa função é , que é uma função polinomial multiplicada pela exponencial, sem denominadores.
Como nunca é zero e não temos denominadores, não há valores de que causem descontinuidade na função.
Resposta para (d): Não existem assíntotas verticais para .

Passo 6

(e) Determinar as assíntotas horizontais de .
Assíntotas horizontais se referem ao comportamento da função quando tende a ou .
Vamos analisar os limites:
áô
Portanto, há uma assíntota horizontal quando .
Resposta para (e): A função possui uma assíntota horizontal em quando tende a .

Passo 7

(f) Determinar as raízes de .
As raízes da função são os valores de para os quais .
Sabemos que nunca é zero, então a equação se anula quando .
Resposta para (f): A única raiz de é .

Resposta

Concluímos todas as partes do exercício conforme explicado acima.

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(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
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(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
Considere a função cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
ache os números críticos da função:
ache os números críticos da função: