Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva, dada por
, é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o plano osculador em cada ponto da curva definida por
é sempre o mesmo plano. Depois disso, precisamos concluir algo sobre a curva com base nisso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como derivadas de vetores posição e a definição de plano osculador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o plano osculador. Esse plano é definido no ponto de uma curva e é determinado pelo vetor tangente e pelo vetor de curvatura naquele ponto. Basicamente, ele “acaricia” a curva de forma mais próxima possível no ponto considerado.
Passo 3
Vamos começar encontrando as derivadas da função vetor
. A primeira derivada
nos dá o vetor tangente à curva, e a segunda derivada
nos ajuda a determinar o vetor de curvatura.
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos ver que
para todo
. Isso significa que o vetor de curvatura é nulo em todos os pontos da curva. Quando o vetor de curvatura é zero, a curva não está “curvando” em nenhum ponto, ou seja, ela está seguindo uma linha reta ou está contida em um único plano.
Passo 5
Para encontrar o plano osculador, usamos os vetores tangente
e de curvatura
. O plano é definido pelo produto vetorial desses dois vetores:
Mas como
, o produto vetorial também será zero:
Isso pode parecer estranho, mas significa que não há um plano único definido nesse caso. No entanto, como a segunda derivada é zero, a curva está linearmente restrita a um plano.
Passo 6
Para determinar qual é esse plano, podemos observar os componentes de
. A posição é dada por:
Podemos expressar
em termos de
:
. Substituindo em
e
:
Isso nos mostra que
e
são expressos em função de
, sugerindo que todos os pontos da curva satisfazem uma equação linear envolvendo
,
e
. Portanto, a curva está contida em um único plano.
Resposta
O plano osculador em cada ponto da curva é o mesmo plano definido por
e
. Podemos concluir que a curva é plana, ou seja, ela está completamente contida nesse único plano.
Exercícios relacionados
Se
, prove que
satisfaz a equação diferencial parcial
Sejam
sen
e
. Determine: O plano tangente a esta superfície em
.
Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de
Considere a função
cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de
.
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
© Estude a concavidade de
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de
(f) Determine as raízes (caso existam) de