Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva, dada por , é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o plano osculador em cada ponto da curva definida por é sempre o mesmo plano. Depois disso, precisamos concluir algo sobre a curva com base nisso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como derivadas de vetores posição e a definição de plano osculador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o plano osculador. Esse plano é definido no ponto de uma curva e é determinado pelo vetor tangente e pelo vetor de curvatura naquele ponto. Basicamente, ele “acaricia” a curva de forma mais próxima possível no ponto considerado.

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas da função vetor . A primeira derivada nos dá o vetor tangente à curva, e a segunda derivada nos ajuda a determinar o vetor de curvatura.
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:

Passo 4

Agora que temos e , podemos ver que para todo . Isso significa que o vetor de curvatura é nulo em todos os pontos da curva. Quando o vetor de curvatura é zero, a curva não está “curvando” em nenhum ponto, ou seja, ela está seguindo uma linha reta ou está contida em um único plano.

Passo 5

Para encontrar o plano osculador, usamos os vetores tangente e de curvatura . O plano é definido pelo produto vetorial desses dois vetores:
Mas como , o produto vetorial também será zero:
Isso pode parecer estranho, mas significa que não há um plano único definido nesse caso. No entanto, como a segunda derivada é zero, a curva está linearmente restrita a um plano.

Passo 6

Para determinar qual é esse plano, podemos observar os componentes de . A posição é dada por:
Podemos expressar em termos de : . Substituindo em e :
Isso nos mostra que e são expressos em função de , sugerindo que todos os pontos da curva satisfazem uma equação linear envolvendo , e . Portanto, a curva está contida em um único plano.

Resposta

O plano osculador em cada ponto da curva é o mesmo plano definido por e . Podemos concluir que a curva é plana, ou seja, ela está completamente contida nesse único plano.

Exercícios relacionados

Se , prove que satisfaz a equação diferencial parcial
Sejam sen e . Determine: O plano tangente a esta superfície em .
Considere a função cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .
Considere a função cujo gráfico é mostrado na figura abaixo.
(a) Encontre o domínio de .
(b) Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento de .
© Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
(d) Determine as assíntotas verticais (caso existam) de .
(e) Determine as assíntotas horizontais (caso existam) de .
(f) Determine as raízes (caso existam) de .