Considere a função
f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1, x ≥ 0
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função, pela análise do sinal de sua função derivada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou diminuindo, usando a derivada dela. Então, vamos precisar saber como calcular derivadas e analisar os sinais delas para encontrar esses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se ela está subindo ou descendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar onde essa derivada é igual a zero, porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Vamos resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados por esses pontos críticos: , e .
  1. Para em :
    • Vamos escolher : Como a derivada é positiva, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Para em :
    • Vamos escolher : Como a derivada é negativa, a função está decrescente nesse intervalo.
  3. Para em :
    • Vamos escolher : Como a derivada é positiva, a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e e decrescendo no intervalo .

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