Resolva as integrais das funções racionais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de cálculo, especificamente em integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a função em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função racional como uma soma de frações parciais. Assumimos que podemos expressar isso da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Escolhemos valores específicos para que simplificam a equação:
  1. Se :
  2. Se :

Passo 5

Agora, para encontrar , escolhemos um valor qualquer para , por exemplo, :

Passo 6

Agora que temos , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Calculamos cada integral:

Passo 9

Juntando tudo e simplificando as constantes:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Ache o ponto sobre curva onde a inclinação da tangente é .
Determine o coeficiente angular da tangente à curva nos interceptos. Escreva a equação da reta correspondente.
Considere a função
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função, pela análise do sinal de sua função derivada.
Resolva as integrais das funções trigométricas: