Resolva as integrais das funções racionais: integral d x(x-1)^2(x-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dx(x-1)^2(x-2). Esse problema está na área de cálculo, especificamente em integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a função em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função racional 1(x-1)^2(x-2) como uma soma de frações parciais. Assumimos que podemos expressar isso da seguinte forma:
1(x-1)^2(x-2) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx-2
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2 para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Escolhemos valores específicos para 1 = A(0)(-1) + B(-1) + C(0) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 que simplificam a equação:
  1. Se 1 = A(1)(0) + B(0) + C(1) Rightarrow 1 = C Rightarrow C = 1 :
  2. Se :

Passo 5

Agora, para encontrar 1 = A(-1)(-2) + B(-2) + C(1) Rightarrow 1 = 2A + 2 + 1 Rightarrow 2A + 3 = 1 Rightarrow 2A = -2 Rightarrow A = -1 , escolhemos um valor qualquer para , por exemplo, :

Passo 6

Agora que temos 1(x-1)^2(x-2) = -1x-1 + -1(x-1)^2 + 1x-2 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x-1 , dx + integral -1(x-1)^2 , dx + integral 1x-2 , dx

Passo 8

Calculamos cada integral:

Passo 9

Juntando tudo e simplificando as constantes:
-ln|x-1| + 1x-1 + ln|x-2| + C

Resposta

A integral é igual a:
integral dx(x-1)^2(x-2) = -ln|x-1| + 1x-1 + ln|x-2| + C

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