Se V(x, y) é o potencial elétrico em um ponto (x, y) no plano x y, então as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais de V(x, y) = c / raiz(r^2 - x^2 - y^2), onde c é uma constante positiva.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um potencial elétrico dado por , onde é uma constante positiva. O objetivo é esboçar as curvas equipotenciais desse potencial no plano . Para isso, vamos precisar entender o que são curvas equipotenciais e como relacioná-las com a expressão dada para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas equipotenciais. Curvas equipotenciais são linhas no espaço onde o potencial elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos. Ou seja, se a gente escolher um valor constante , queremos encontrar todos os pontos que satisfazem .

Passo 3

Agora, vamos igualar a expressão do potencial a uma constante :
Nosso objetivo é resolver essa equação para e , o que vai nos dar a equação das curvas equipotenciais.

Passo 4

Vamos resolver a equação para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, temos:
Rearranjando os termos:

Passo 5

A equação , onde é uma constante, representa um círculo com raio centrado na origem. No nosso caso, .
Isso significa que para cada valor constante de , a curva equipotencial será um círculo concêntrico com a origem, mas com um raio menor que , já que é positivo e subtraído de .

Resposta

As curvas equipotenciais de são círculos concêntricos com centro na origem e raio . Ou seja, para cada valor constante de , a curva equipotencial é um círculo no plano com raio determinado pela equação acima, dentro do círculo de raio .

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