Considere a função f(x) = (x^2 + x + 1) / e^x
© 1,0 Mostre que f''(x) = (x^2 - 3x + 1) / e^x e estude a concavidade de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a segunda derivada da função f(x) = (x^2 + x + 1) / e^x é e depois estudarmos a concavidade dessa função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas, especialmente usando a regra do quociente, e entender o que é concavidade em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f(x). A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos , então:
Aqui, e . Vamos derivar u(x) e v(x):
Agora aplicamos a regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Temos . De novo, usamos a regra do quociente:
Isso confirma que , conforme solicitado.

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, vamos estudar a concavidade da função f(x). A concavidade está relacionada ao sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de . Sabemos que para todo x, então o sinal de depende apenas do numerador .
Vamos resolver :
Então, os pontos críticos são e . Vamos chamar esses pontos de e .
Agora, vamos analisar os intervalos:
  1. Para , → concavidade para cima.
  2. Para , → concavidade para baixo.
  3. Para , → concavidade para cima.

Resposta

A segunda derivada de f(x) é . A função é côncava para cima quando e , e côncava para baixo quando .

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