Considere a função
©
Mostre que
e estude a concavidade de
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a segunda derivada da função
é
e depois estudarmos a concavidade dessa função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas, especialmente usando a regra do quociente, e entender o que é concavidade em funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos
, então:
Aqui,
e
. Vamos derivar
e
:
Agora aplicamos a regra:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Temos
. De novo, usamos a regra do quociente:
Isso confirma que
, conforme solicitado.
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada, vamos estudar a concavidade da função
. A concavidade está relacionada ao sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de
. Sabemos que
para todo
, então o sinal de
depende apenas do numerador
.
Vamos resolver
:
Então, os pontos críticos são
e
. Vamos chamar esses pontos de
e
.
Agora, vamos analisar os intervalos:
- Para
, → → concavidade para cima. - Para
, → → concavidade para baixo. - Para
, → → concavidade para cima.
Resposta
A segunda derivada de
é
. A função é côncava para cima quando
e
, e côncava para baixo quando
.
Exercícios relacionados
Calcule:
g) ,
g)
Uma reta no plano tem equação
.
Determine um vetor paralelo a esta reta.
Determine um vetor paralelo a esta reta.
Uma reta no plano tem equação
.
Determine um vetor ortogonal a esta reta.
Determine um vetor ortogonal a esta reta.
Calcule:
m) ,
m)