Considere a função
© Mostre que e estude a concavidade de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a segunda derivada da função é e depois estudarmos a concavidade dessa função. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas, especialmente usando a regra do quociente, e entender o que é concavidade em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos , então:
Aqui, e . Vamos derivar e :
Agora aplicamos a regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Temos . De novo, usamos a regra do quociente:
Isso confirma que , conforme solicitado.

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, vamos estudar a concavidade da função . A concavidade está relacionada ao sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de . Sabemos que para todo , então o sinal de depende apenas do numerador .
Vamos resolver :
Então, os pontos críticos são e . Vamos chamar esses pontos de e .
Agora, vamos analisar os intervalos:
  1. Para , → concavidade para cima.
  2. Para , → concavidade para baixo.
  3. Para , → concavidade para cima.

Resposta

A segunda derivada de é . A função é côncava para cima quando e , e côncava para baixo quando .

Exercícios relacionados

Calcule:
g) ,
Uma reta no plano tem equação .
Determine um vetor paralelo a esta reta.
Uma reta no plano tem equação .
Determine um vetor ortogonal a esta reta.
Calcule:
m) ,