Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é útil quando a função é uma divisão entre duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que formam o numerador e o denominador. Aqui temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

A regra do quociente nos ajuda a derivar uma função que é a divisão de duas funções. Ela é dada por:
Ou seja, a derivada de é igual a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 6

Por fim, substituímos na expressão da derivada para encontrar :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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Considere a função .
Esboce o gráfico de .
Seja , onde é uma função derivável. Se e , determine .
Determine a derivada de cada função dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Determine a derivada de cada função dada a seguir, utilizando a definição de derivada: