Determine a derivada f'(x) de cada função f dada a seguir, utilizando a definição de derivada: f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando essa variação tende a zero. Em fórmula, fica assim:
Aqui, representa uma pequena variação em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :
Vamos expandir cada termo:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
Agora, subtraímos :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, dividimos essa diferença por :

Passo 6

Por fim, calculamos o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é .

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