Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da razão entre a variação da função e a variação de
quando essa variação tende a zero. Em fórmula, fica assim:
Aqui,
representa uma pequena variação em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Vamos expandir cada termo:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, subtraímos
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, dividimos essa diferença por
:
Passo 6
Por fim, calculamos o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função é
.
Exercícios relacionados
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Considere a função
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de
Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: