Considere a função cujo gráfico está representado na figura abaixo.
(b) Esboce, neste mesmo gráfico, retas tangentes ao gráfico da função em , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos desenhar as retas tangentes ao gráfico dessa função nos pontos onde e . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , ou seja, a inclinação da reta tangente naquele ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente nos pontos e .
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos as inclinações das retas tangentes, precisamos encontrar as equações dessas retas. Para isso, usamos a forma da equação da reta tangente:
onde é o valor de no ponto de tangência.
Vamos calcular para cada :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos agora substituir os valores encontrados na equação da reta tangente:
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas tangentes ao gráfico da função nos pontos e são:

Exercícios relacionados

Considere a função cujo gráfico está representado na figura abaixo.
(a) Determine e .
Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo e . Qual o valor de para que ocorra a interferência construtiva em e interferência destrutiva em .
Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.