Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^4+y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o limite
lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^4+y^4
existe. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite quando nos aproximamos do ponto (0,0) pelo eixo x^4 - 0^4x^4 + 0^4 = x^4x^4 = 1 . Substituindo na função, temos:
Então, ao longo do eixo , o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos pelo eixo 0^4 - y^40^4 + y^4 = -y^4y^4 = -1 . Substituindo na função:
Assim, ao longo do eixo , o limite é -1.

Passo 4

Vamos ainda analisar o limite ao nos aproximarmos pelo caminho x^4 - x^4x^4 + x^4 = 02x^4 = 0 . Substituindo na função:
Então, ao longo da linha , o limite é 0.

Passo 5

Observamos que o limite assume valores diferentes dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de (0,0): 1, -1 e 0. Para um limite existir em duas variáveis, ele precisa ser o mesmo independentemente do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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