Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Esse problema está na área de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta conforme nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite exista em
, o valor da função deve ser o mesmo independentemente do caminho que a gente escolher para chegar até lá. Ou seja, se calcularmos o limite por diferentes caminhos e obtivermos resultados distintos, o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Então, pelo caminho onde
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, onde
. Substituindo
na função:
Pelo caminho onde
, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos testar outro caminho mais geral. Que tal
, onde
é uma constante? Substituindo
na função:
Percebi que, nesse caso, o limite depende do valor de
. Isso significa que, dependendo do caminho que a gente escolher (ou seja, do valor de
), o limite pode variar.
Passo 6
Como encontramos caminhos que levam a valores diferentes para o limite (por exemplo, 0 pelo eixo
e
por
), concluímos que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
O limite
não existe.