Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
lim (x, y) (0,0) x^9 y(x^6+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o limite da função existe quando se aproxima de . Esse problema está na área de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta conforme nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite exista em , o valor da função deve ser o mesmo independentemente do caminho que a gente escolher para chegar até lá. Ou seja, se calcularmos o limite por diferentes caminhos e obtivermos resultados distintos, o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo x^9 cdot 0(x^6+0^2)^2 = 0x^12 = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, pelo caminho onde , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo 0^9 cdot y(0^6+y^2)^2 = 0y^4 = 0 , onde . Substituindo na função:
Pelo caminho onde , o limite também é 0.

Passo 5

Vamos testar outro caminho mais geral. Que tal x^9 cdot kx^3(x^6 + (kx^3)^2)^2 = kx^12(x^6 + k^2x^6)^2 = kx^12x^12(1 + k^2)^2 = k(1 + k^2)^2 , onde é uma constante? Substituindo na função:
Percebi que, nesse caso, o limite depende do valor de . Isso significa que, dependendo do caminho que a gente escolher (ou seja, do valor de ), o limite pode variar.

Passo 6

Como encontramos caminhos que levam a valores diferentes para o limite (por exemplo, 0 pelo eixo e por ), concluímos que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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