Determine as integrais
integral x-3x^2-x-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral de em relação a . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais. Primeiro, precisamos entender como simplificar essa fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) . Fatorar significa reescrever a expressão como produto de dois binômios. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral x - 3(x - 3)(x + 2) , dx
Note que o termo x - 3(x - 3)(x + 2) = 1x + 2 está tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esse termo:

Passo 4

Então, a integral simplificada é:
integral 1x + 2 , dx
A gente sabe que a integral de é o logaritmo natural de . Aplicando isso aqui, onde temos , usamos uma substituição simples.

Passo 5

A integral de ln|x + 2| + C em relação a é:
Onde é a constante de integração, que sempre colocamos quando encontramos uma antiderivada.

Resposta

Portanto, a integral de ln|x + 2| + C é:

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