Suponha que as funções reais
e
são contínuas em um intervalo aberto
e seja
uma solução complexa de
onde
e
são funções reais. Mostre que
e
são, também, soluções dessa EDO.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
Aqui,
e
são funções reais contínuas num intervalo aberto
. A solução que a gente tem é uma função complexa
, onde
e
são funções reais. Nosso objetivo é mostrar que tanto
quanto
também são soluções dessa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é uma solução da EDO, então ela satisfaz a equação para todo
no intervalo
. Vamos escrever isso:
Substituindo
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas. Lembrando que a derivada de uma função complexa é a derivada das partes real e imaginária separadamente:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Vamos distribuir os termos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Então, a equação fica:
Passo 5
Para essa igualdade ser verdadeira, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser iguais a zero separadamente. Ou seja:
Parte real:
Parte imaginária:
Resposta
Assim, mostramos que
e
satisfazem a EDO dada. Portanto, ambas as funções reais
e
são soluções da equação diferencial:
e
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial.
Considere a função
.
(a) Determine e classifique os pontos críticos da função
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Esboce o gráfico da função
. (3pts)
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e y de um retângulo de Área
de modo que ele tenha o menor perímetro.