Suponha que as funções reais p e q são contínuas em um intervalo aberto I e seja y = phi(t) u(t) + i v(t) uma solução complexa de
y'' + p(t) y' + q(t) y = 0
onde u e v são funções reais. Mostre que u e v são, também, soluções dessa EDO.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
Aqui, e são funções reais contínuas num intervalo aberto . A solução que a gente tem é uma função complexa , onde e são funções reais. Nosso objetivo é mostrar que tanto quanto também são soluções dessa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é uma solução da EDO, então ela satisfaz a equação para todo no intervalo . Vamos escrever isso:
Substituindo , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas. Lembrando que a derivada de uma função complexa é a derivada das partes real e imaginária separadamente:
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Vamos distribuir os termos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Então, a equação fica:

Passo 5

Para essa igualdade ser verdadeira, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser iguais a zero separadamente. Ou seja:
Parte real:
Parte imaginária:

Resposta

Assim, mostramos que e satisfazem a EDO dada. Portanto, ambas as funções reais e são soluções da equação diferencial:
e

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