Considere a função f(x) = 3*x^4 + 4*x^3 - 12*x^2 + 1.
Através do estudo do sinal de f'(x), determine se este(s) valor(es) de x_0 encontrado anteriormente é ponto de mínimo local, máximo local ou não é ponto extremante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a função usando a derivada primeira . O objetivo é descobrir se os pontos críticos que encontrarmos são mínimos locais, máximos locais ou não são pontos de extrema. Para isso, vamos precisar calcular a derivada, encontrar onde ela é zero (os pontos críticos) e analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, porque esses pontos são onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Resolvendo a equação quadrática:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados por esses pontos críticos. Isso vai nos ajudar a saber se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
  1. Intervalo :
    Escolha :
    → Função está decrescendo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    → Função está crescendo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    → Função está decrescendo.
  4. Intervalo :
    Escolha :
    → Função está crescendo.

Passo 5

Com base nessa análise de sinais, podemos determinar o comportamento da função em cada ponto crítico:
  • Em :
    Antes de , a derivada era negativa (função decrescendo) e depois passa a positiva (função crescendo). Isso indica que é um ponto de mínimo local.
  • Em :
    Antes de , a derivada era positiva (função crescendo) e depois passa a negativa (função decrescendo). Isso indica que é um ponto de máximo local.
  • Em :
    Antes de , a derivada era negativa (função decrescendo) e depois passa a positiva (função crescendo). Isso indica que é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos encontrados são:
  • : ponto de mínimo local.
  • : ponto de máximo local.
  • : ponto de mínimo local.

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