Considere a função
.
Através do estudo do sinal de
, determine se este(s) valor(es) de
encontrado anteriormente é ponto de mínimo local, máximo local ou não é ponto extremante.
Através do estudo do sinal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a função
usando a derivada primeira
. O objetivo é descobrir se os pontos críticos que encontrarmos são mínimos locais, máximos locais ou não são pontos de extrema. Para isso, vamos precisar calcular a derivada, encontrar onde ela é zero (os pontos críticos) e analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, porque esses pontos são onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Resolvendo a equação quadrática:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
nos intervalos determinados por esses pontos críticos. Isso vai nos ajudar a saber se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
-
Intervalo
:
Escolha: → Função está decrescendo. -
Intervalo
:
Escolha: → Função está crescendo. -
Intervalo
:
Escolha: → Função está decrescendo. -
Intervalo
:
Escolha: → Função está crescendo.
Passo 5
Com base nessa análise de sinais, podemos determinar o comportamento da função em cada ponto crítico:
-
Em
:
Antes de, a derivada era negativa (função decrescendo) e depois passa a positiva (função crescendo). Isso indica que é um ponto de mínimo local. -
Em
:
Antes de, a derivada era positiva (função crescendo) e depois passa a negativa (função decrescendo). Isso indica que é um ponto de máximo local. -
Em
:
Antes de, a derivada era negativa (função decrescendo) e depois passa a positiva (função crescendo). Isso indica que é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos encontrados são:
-
: ponto de mínimo local. -
: ponto de máximo local. -
: ponto de mínimo local.