Use as substituições trigonométricas para calcular: integral x^5raiz-4 x^2+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituições trigonométricas. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com substituições trigonométricas para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a raiz quadrada no denominador.

Passo 2

Primeiro, observe o denominador raiz2 - 4x^2 = raiz2(1 - 2x^2) = raiz2 cdot raiz1 - 2x^2 . Podemos reescrevê-lo como . Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos fatorar 2:

Passo 3

Agora, queremos uma expressão da forma raiz1 - 2x^2 = sintheta , que sugere a substituição 1 - 2x^2 = sin^2theta Rightarrow 2x^2 = 1 - sin^2theta = cos^2theta . Vamos definir:
x^2 = cos^2theta2 Rightarrow x = costhetaraiz2
Então,
Portanto,

Passo 4

Vamos derivar x = costhetaraiz2 Rightarrow dx = -sinthetaraiz2 , dtheta em relação a :

Passo 5

Substituindo integral x^5raiz-4x^2 + 2 , dx = integral (costhetaraiz2)^5raiz2 cdot sintheta cdot (-sinthetaraiz2) , dtheta e = -12^3 integral cos^5theta , dtheta = -18 integral cos^5theta , dtheta na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Para integrar integral cos^5theta , dtheta = integral (1 - u^2)^2 , du = integral (1 - 2u^2 + u^4) , du = u - 23u^3 + 15u^5 + C = sintheta - 23sin^3theta + 15sin^5theta + C , usamos a identidade . Fazendo a substituição , :

Passo 7

Voltando à variável original -18 ( raiz1 - 2x^2 - 23(1 - 2x^2)^3/2 + 15(1 - 2x^2)^5/2 ) + C , lembrando que :

Resposta

A integral -18 ( raiz1 - 2x^2 - 23(1 - 2x^2)^3/2 + 15(1 - 2x^2)^5/2 ) + C é igual a
onde é a constante de integração.

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