Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituições trigonométricas. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com substituições trigonométricas para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a raiz quadrada no denominador.
Passo 2
Primeiro, observe o denominador
. Podemos reescrevê-lo como
. Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos fatorar 2:
Passo 3
Agora, queremos uma expressão da forma
, que sugere a substituição
. Vamos definir:
Então,
Portanto,
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade
. Fazendo a substituição
,
:
Passo 7
Voltando à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a
onde
é a constante de integração.