Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve substituições trigonométricas, que são técnicas usadas para simplificar integrais que têm expressões quadráticas dentro delas. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas básicas e entender como fazer substituições para facilitar a integral.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que temos uma expressão do tipo
, onde
. Para integrais que envolvem
, a substituição trigonométrica mais comum é
. Então, vamos fazer essa substituição:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
para substituir
. Derivando ambos os lados:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos o denominador dentro da integral:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Simplificamos a fração:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Integrando
:
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo
tem:
Então,
.
Resposta
Substituindo de volta, a integral é: