Use as substituições trigonométricas para calcular: integral d x(x^2+25)^32

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve substituições trigonométricas, que são técnicas usadas para simplificar integrais que têm expressões quadráticas dentro delas. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas básicas e entender como fazer substituições para facilitar a integral.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que temos uma expressão do tipo x = 5 tan theta , onde . Para integrais que envolvem , a substituição trigonométrica mais comum é . Então, vamos fazer essa substituição:

Passo 3

Agora, precisamos derivar dx = 5 sec^2 theta , dtheta em relação a para substituir . Derivando ambos os lados:

Passo 4

Substituímos integral 5 sec^2 theta , dtheta(25 tan^2 theta + 25)^32 e na integral original:

Passo 5

Simplificamos o denominador dentro da integral:
25 tan^2 theta + 25 = 25 (tan^2 theta + 1) = 25 sec^2 theta
Então, a expressão fica:

Passo 6

Simplificamos a fração:
5 sec^2 theta125 sec^3 theta = 125 cdot 1sec theta = 125 cos theta
Agora, a integral fica:
125 integral cos theta , dtheta

Passo 7

Integrando 125 sin theta + C :

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original oposto = x = 5 tan theta . Sabemos que adjacente = 5 , então podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo hipotenusa = raizx^2 + 25 tem:
Então, .

Resposta

Substituindo de volta, a integral é:
125 cdot xraizx^2 + 25 + C

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