Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais! O exercício pede para calcular a integral definida de de a . Para isso, vamos precisar entender como decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos mais simples que envolvem . Vamos supor que:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de , , e .
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Fazendo a substituição 12 integral dx2x^2+2x+1 = 12 times 12 tan^-1(2x + 1) + C = 14 tan^-1(2x + 1) + C , temos -x - 12 = -14(4x + 2) . No entanto, neste caso, a integração direta leva a uma função arco-tangente:
integral -x - 12(2x^2+2x+1)^2 dx = -14 integral 4x + 2(2x^2+2x+1)^2 dx
Integrando o segundo termo:
Note que o numerador = -14 times ( -12x^2+2x+1 ) + C = 14(2x^2+2x+1) + C é semelhante à derivada do denominador , que é . Podemos reescrever:
Passo 5
Juntando as partes integradas, temos:
integral x^2(2x^2+2x+1)^2 dx = 14 tan^-1(2x + 1) + 14(2x^2+2x+1) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 14 tan^-1(1) + 14(1) = 14 times pi4 + 14 = pi16 + 14 a 14 tan^-1(-1) + 14(1) = 14 times (-pi4) + 14 = -pi16 + 14 :