Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral-1^0 x^2(2 x^2+2 x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais! O exercício pede para calcular a integral definida de de a . Para isso, vamos precisar entender como decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração x^2(2x^2+2x+1)^2 = Ax + B2x^2+2x+1 + Cx + D(2x^2+2x+1)^2 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos mais simples que envolvem . Vamos supor que:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de , , e .

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2 = (Ax + B)(2x^2 + 2x + 1) + (Cx + D) para eliminar as frações:
x^2 = (Ax)(2x^2) + (Ax)(2x) + (Ax)(1) + (B)(2x^2) + (B)(2x) + (B)(1) + Cx + D
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos:
x^2 = 2A x^3 + 2A x^2 + A x + 2B x^2 + 2B x + B + Cx + D
2A = 0 (coeficiente de x^3) 2A + 2B = 1 (coeficiente de x^2) A + 2B + C = 0 (coeficiente de x) B + D = 0 (termo constante)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
A = 0, B = 12, C = -1, D = -12
Resolvendo essas equações, encontramos:
x^2(2x^2+2x+1)^2 = 122x^2+2x+1 + -x - 12(2x^2+2x+1)^2
Portanto, a decomposição fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^2(2x^2+2x+1)^2 dx = 12 integral dx2x^2+2x+1 + integral -x - 12(2x^2+2x+1)^2 dx
Integrando o primeiro termo:
Vamos completar o quadrado no denominador:
2x^2 + 2x + 1 = 2(x^2 + x + 12) = 2((x + 12)^2 + 14)
Fazendo a substituição 12 integral dx2x^2+2x+1 = 12 times 12 tan^-1(2x + 1) + C = 14 tan^-1(2x + 1) + C , temos -x - 12 = -14(4x + 2) . No entanto, neste caso, a integração direta leva a uma função arco-tangente:
integral -x - 12(2x^2+2x+1)^2 dx = -14 integral 4x + 2(2x^2+2x+1)^2 dx
Integrando o segundo termo:
Note que o numerador = -14 times ( -12x^2+2x+1 ) + C = 14(2x^2+2x+1) + C é semelhante à derivada do denominador , que é . Podemos reescrever:

Passo 5

Juntando as partes integradas, temos:
integral x^2(2x^2+2x+1)^2 dx = 14 tan^-1(2x + 1) + 14(2x^2+2x+1) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 14 tan^-1(1) + 14(1) = 14 times pi4 + 14 = pi16 + 14 a 14 tan^-1(-1) + 14(1) = 14 times (-pi4) + 14 = -pi16 + 14 :
Para ( pi16 + 14 ) - ( -pi16 + 14 ) = pi8 :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

pi4

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