Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
usando o método das frações parciais. Para isso, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos raízes reais da equação
.
Tentamos
:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
Agora, fatoramos
:
Portanto, o denominador fatorado é:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para outro valor de
, por exemplo, :
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Juntando todas as integrais e aplicando os limites de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Simplificando:
Resposta
A integral vale
.