Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral0^4 x^22 x^3+9 x^2+12 x+4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando o método das frações parciais. Para isso, precisamos fatorar o denominador e decompor a fração em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2(-2)^3 + 9(-2)^2 + 12(-2) + 4 = -16 + 36 - 24 + 4 = 0 . Para isso, procuramos raízes reais da equação 2x^3 + 9x^2 + 12x + 4 = (x + 2)(2x^2 + 5x + 2) .
Tentamos 2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2) :
2x^3 + 9x^2 + 12x + 4 = (x + 2)^2(2x + 1)
Então, é um fator. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
Agora, fatoramos :
Portanto, o denominador fatorado é:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x^2(x + 2)^2(2x + 1) = Ax + 2 + B(x + 2)^2 + C2x + 1 em frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^2 = A(x + 2)(2x + 1) + B(2x + 1) + C(x + 2)^2 para eliminar os denominadores:
(-2)^2 = A(0) + B(2(-2) + 1) + C(0) 4 = -3B B = -43
Agora, escolhemos valores de (-12)^2 = A(-12 + 2)(0) + B(0) + C(-12 + 2)^2 14 = C(32)^2 14 = C cdot 94 C = 19 que simplificam a equação:
  1. Para 0^2 = A(2)(1) + B(1) + C(2)^2 0 = 2A + B + 4C Substituindo B e C: 0 = 2A - 43 + 49 2A = 43 - 49 = 129 - 49 = 89 A = 49 :
  1. Para :
  1. Para outro valor de , por exemplo, :

Passo 5

Agora que temos os valores de x^2(x + 2)^2(2x + 1) = 49x + 2 + -43(x + 2)^2 + 192x + 1 , x^2(x + 2)^2(2x + 1) = 49(x + 2) - 43(x + 2)^2 + 19(2x + 1) e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 49(x + 2) , dx = 49 ln|x + 2|
integral -43(x + 2)^2 , dx = 43(x + 2)
integral 19(2x + 1) , dx = 118 ln|2x + 1|

Passo 7

Juntando todas as integrais e aplicando os limites de integral0^4 x^22x^3 + 9x^2 + 12x + 4 , dx = [ 49 ln(x + 2) + 43(x + 2) + 118 ln(2x + 1) ]0^4 a 49 ln(6) + 418 + 118 ln(9) :
49 ln(2) + 46 + 118 ln(1) = 49 ln(2) + 23 + 0
Calculando nos limites:
Para ( 49 ln(6) + 29 + 12 ln(9) ) - ( 49 ln(2) + 23 ) :
49 ln(62) + 12 ln(9) + ( 29 - 69 ) = 49 ln(3) + 12 cdot 2ln(3) - 49
Para = 49 ln(3) + ln(3) - 49 = 139 ln(3) - 49 :
Subtraindo:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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