Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando queremos simplificar uma fração complexa em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar um em comum:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Isso facilita a integração, pois cada termo pode ser integrado separadamente.
Passo 4
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, , e .
Passo 5
Agora que temos 3x^2 - x + 1x^2(x - 1) = 0x + -1x^2 + 3x - 1 = -1x^2 + 3x - 1 , integral -1x^2 , dx + integral 3x - 1 , dx e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.