Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral 3 x^2-x+1x^3-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando queremos simplificar uma fração complexa em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - x^2 = x^2(x - 1) . Podemos fatorar um 3x^2 - x + 1x^2(x - 1) em comum:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 3x^2 - x + 1x^2(x - 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1 , e tais que:
Isso facilita a integração, pois cada termo pode ser integrado separadamente.

Passo 4

Para encontrar os valores de 3x^2 - x + 1 = A x(x - 1) + B(x - 1) + C x^2 , 3x^2 - x + 1 = A x^2 - A x + B x - B + C x^2 e 3x^2 - x + 1 = (A + C) x^2 + ( - A + B ) x + (-B) , multiplicamos ambos os lados da equação por A + C = 3 - A + B = -1 - B = 1 :
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, , e .

Passo 5

Agora que temos 3x^2 - x + 1x^2(x - 1) = 0x + -1x^2 + 3x - 1 = -1x^2 + 3x - 1 , integral -1x^2 , dx + integral 3x - 1 , dx e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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