Determine a transformação linear sabendo que , 1, 0) e encontre um vetor tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar uma transformação linear sabendo que e . Além disso, precisamos encontrar um vetor tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz de será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Nossa tarefa é encontrar os valores de e usando as informações dadas.

Passo 3

Sabemos que:
Multiplicando a matriz pela coluna :
Isso nos dá as equações:

Passo 4

Também sabemos que:
Multiplicando a matriz pela coluna :
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações (1), (2) e (3) usando os valores que achamos:
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):

Passo 6

Com todos os valores encontrados, a matriz da transformação fica:

Passo 7

Agora, queremos encontrar um vetor tal que . Isso significa:
Multiplicando a matriz pela coluna :
Isso nos dá as equações:

Passo 8

Da equação (9):
Substituindo na equação (8):

Resposta

O vetor desejado é .

Exercícios relacionados

Considere a função .
(b) Determine os valores de para os quais .
Verifique em que caso a função definida por é linear:
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)
Verifique em que caso a função definida por é linear: