Determine a transformação linear sabendo que , 1, 0) e encontre um vetor tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar uma transformação linear sabendo que e . Além disso, precisamos encontrar um vetor tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz de será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Nossa tarefa é encontrar os valores de e usando as informações dadas.
Passo 3
Sabemos que:
T(-1,1) = A -1 1 = 3 2 1
Multiplicando a matriz pela coluna a(-1) + b(1) c(-1) + d(1) e(-1) + f(1) = 3 2 1 :
- a + b = 3 (1)
Isso nos dá as equações:
- c + d = 2 (2)
- e + f = 1 (3)
Passo 4
Também sabemos que:
T(0,1) = A 0 1 = 1 1 0
Multiplicando a matriz pela coluna a(0) + b(1) c(0) + d(1) e(0) + f(1) = 1 1 0 :
b = 1 (4)
Isso nos dá:
d = 1 (5)
f = 0 (6)
Passo 5
Agora, vamos resolver as equações (1), (2) e (3) usando os valores que achamos:
Da equação (1):
- a + 1 = 3 Rightarrow -a = 2 Rightarrow a = -2
Da equação (2):
- c + 1 = 2 Rightarrow -c = 1 Rightarrow c = -1
Da equação (3):
- e + 0 = 1 Rightarrow -e = 1 Rightarrow e = -1
Passo 6
Com todos os valores encontrados, a matriz A = -2 & 1 -1 & 1 -1 & 0 da transformação fica:
Passo 7
Agora, queremos encontrar um vetor A x y = 5 3 2 tal que -2x + y - x + y - x = 5 3 2 . Isso significa:
-2x + y = 5 (7)
Multiplicando a matriz pela coluna - x + y = 3 (8) :
- x = 2 (9)
Isso nos dá as equações:
Passo 8
Da equação (9):
- x = 2 Rightarrow x = -2
Substituindo - (-2) + y = 3 Rightarrow 2 + y = 3 Rightarrow y = 1 na equação (8):