Determine a transformação linear sabendo que , 1, 0) e encontre um vetor tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar uma transformação linear sabendo que e . Além disso, precisamos encontrar um vetor tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz de será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Nossa tarefa é encontrar os valores de e usando as informações dadas.
Passo 3
Sabemos que:
Multiplicando a matriz pela coluna :
Isso nos dá as equações:
Passo 4
Também sabemos que:
Multiplicando a matriz pela coluna :
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, vamos resolver as equações (1), (2) e (3) usando os valores que achamos:
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Passo 6
Com todos os valores encontrados, a matriz da transformação fica:
Passo 7
Agora, queremos encontrar um vetor tal que . Isso significa: