Encontre duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário .
a)
b) ,
c)
Rpta: a) , b) , c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos duas séries de potências que sejam soluções das equações diferenciais dadas em torno do ponto ordinário . Isso significa que vamos representar as soluções como séries infinitas de potências de . Para isso, vamos precisar usar o conceito de séries de potências e como elas se aplicam às equações diferenciais. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela parte a) da questão:
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos alinhar os índices das somas para termos potências de :
  • Para , ajuste :
  • Para , multiplique por :
  • A última soma já está em termos de :

Passo 6

Juntando tudo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, para cada :
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes em termos de . Vamos escolher e como constantes livres (geralmente denotadas por e ).
Para encontrar (solução com ) e (solução com ), aplicamos a relação de recorrência.

Passo 8

Calculando alguns termos:
Para ( ):
Para ( ):

Passo 9

Assim, as soluções são:

Resposta

As duas séries de potências que são soluções da equação diferencial em torno de são:
onde e são constantes arbitrárias.

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a)
b)
Rpta: a) , b)
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