Encontre duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário
.
a)
b)
,
c)
Rpta: a)
, b)
, c)
a)
b)
c)
Rpta: a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos duas séries de potências que sejam soluções das equações diferenciais dadas em torno do ponto ordinário
. Isso significa que vamos representar as soluções
como séries infinitas de potências de
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de séries de potências e como elas se aplicam às equações diferenciais. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar pela parte a) da questão:
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos alinhar os índices das somas para termos potências de
:
- Para
, ajuste :
- Para
, multiplique por :
- A última soma já está em termos de
:
Passo 6
Juntando tudo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, para cada
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes
em termos de
. Vamos escolher
e
como constantes livres (geralmente denotadas por
e
).
Para encontrar
(solução com
) e
(solução com
), aplicamos a relação de recorrência.
Passo 8
Calculando alguns termos:
Para
(
):
Para
(
):
Passo 9
Assim, as soluções são:
Resposta
As duas séries de potências que são soluções da equação diferencial
em torno de
são:
onde
e
são constantes arbitrárias.