Encontre duas séries de potências que sejam soluções da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário x=0.
a) y^prime prime-2 x y^prime+y=0
b) (x-1) y^prime prime+y^prime=0,
c) (x^2-1) y^prime prime+4 x y^prime+2 y=0
Rpta: a) y1=c0[1-x^22!-3 x^44!+ldots], y2=c1[x+x^33!-5 x^55!+ldots], b) y1=c0, y2=c1 sumn=1^infty x^nn, c) y1=c0 sumn=0^infty x^2 n, y2=c1 sumn=0^infty x^2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos duas séries de potências que sejam soluções das equações diferenciais dadas em torno do ponto ordinário . Isso significa que vamos representar as soluções como séries infinitas de potências de . Para isso, vamos precisar usar o conceito de séries de potências e como elas se aplicam às equações diferenciais. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela parte a) da questão:
y'' - 2x y' + y = 0
Primeiro, assumimos que a solução y = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y' = sumn=1^infty n an x^n-1 :
y'' = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - 2x sumn=1^infty n an x^n-1 + sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos alinhar os índices das somas para termos potências de sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k :
  • Para -2 sumn=1^infty n an x^n = -2 sumk=1^infty k ak x^k , ajuste sumn=0^infty an x^n :
  • Para , multiplique por :
  • A última soma já está em termos de :

Passo 6

Juntando tudo:
sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k - 2 sumk=1^infty k ak x^k + sumk=0^infty ak x^k = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo (k+2)(k+1) ak+2 - 2k ak + ak = 0 , os coeficientes de cada potência de ak+2 = (2k - 1)(k+2)(k+1) ak devem ser iguais a zero. Então, para cada :
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes em termos de . Vamos escolher e como constantes livres (geralmente denotadas por e ).
Para encontrar (solução com ) e (solução com ), aplicamos a relação de recorrência.

Passo 8

Calculando alguns termos:
Para a0 &= c0 a2 &= (2 cdot 0 - 1)(2)(1) a0 = -12 a0 a4 &= (2 cdot 2 - 1)(4)(3) a2 = 312 (-12) = -324 vdots ( a1 &= c1 a3 &= (2 cdot 1 - 1)(3)(2) a1 = 16 a1 a5 &= (2 cdot 3 - 1)(5)(4) a3 = 520 cdot 16 = 5120 vdots ):
Para ( ):

Passo 9

Assim, as soluções são:
y1 &= c0 [1 - x^22! - 3x^44! + ldots ] y2 &= c1 [x + x^33! - 5x^55! + ldots ]

Resposta

As duas séries de potências que são soluções da equação diferencial y1 &= c0 [1 - x^22! - 3x^44! + ldots ], y2 &= c1 [x + x^33! - 5x^55! + ldots ], em torno de são:
onde e são constantes arbitrárias.

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