Considere a função f(x)=3 x^2(8-x^3)^2.
(b) (6 pontos). Verifique se a integral integral-infty^infty f(x) d x é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral da função de até é convergente ou divergente. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias, onde precisamos analisar o comportamento da função em todo o domínio real e em pontos onde a função pode não estar definida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter problemas, ou seja, onde o denominador iguala a zero. Isso acontece quando , ou seja, quando . Então, temos um ponto de descontinuidade em .

Passo 3

Devido a essa descontinuidade, não podemos calcular a integral de a diretamente. Precisamos dividir a integral em três partes:
  1. De até ,
  2. De até .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de e também para tendendo ao infinito. Isso nos ajudará a determinar se cada parte da integral converge ou diverge.

Passo 5

Para próximo de , o denominador tende a zero, o que faz com que cresça muito, possivelmente indo para o infinito. Isso sugere que a integral pode divergir nesse ponto.

Passo 6

Além disso, para tendendo a , o termo domina o denominador, então se comporta como . Então, se comporta aproximadamente como , que é uma função que tende a zero à medida que cresce, e sabemos que a integral de converge.

Passo 7

Apesar da parte para tendendo ao infinito convergir, o problema está na descontinuidade em . Como a função tende ao infinito nesse ponto, a integral nessa região não converge.

Resposta

A integral é divergente.

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