Considere a função
.
(b) (6 pontos). Verifique se a integral
é convergente ou divergente.
(b) (6 pontos). Verifique se a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral da função
de
até
é convergente ou divergente. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias, onde precisamos analisar o comportamento da função em todo o domínio real e em pontos onde a função pode não estar definida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
pode ter problemas, ou seja, onde o denominador
iguala a zero. Isso acontece quando
, ou seja, quando
. Então, temos um ponto de descontinuidade em
.
Passo 3
Devido a essa descontinuidade, não podemos calcular a integral de
a
diretamente. Precisamos dividir a integral em três partes:
- De
até , - De
até .
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função
perto de
e também para
tendendo ao infinito. Isso nos ajudará a determinar se cada parte da integral converge ou diverge.
Passo 5
Para
próximo de
, o denominador
tende a zero, o que faz com que
cresça muito, possivelmente indo para o infinito. Isso sugere que a integral pode divergir nesse ponto.
Passo 6
Além disso, para
tendendo a
, o termo
domina o denominador, então
se comporta como
. Então,
se comporta aproximadamente como
, que é uma função que tende a zero à medida que
cresce, e sabemos que a integral de
converge.
Passo 7
Apesar da parte para
tendendo ao infinito convergir, o problema está na descontinuidade em
. Como a função tende ao infinito nesse ponto, a integral nessa região não converge.
Resposta
A integral
é divergente.