Considere a função .
(b) (6 pontos). Verifique se a integral é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral da função de até é convergente ou divergente. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias, onde precisamos analisar o comportamento da função em todo o domínio real e em pontos onde a função pode não estar definida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter problemas, ou seja, onde o denominador iguala a zero. Isso acontece quando , ou seja, quando . Então, temos um ponto de descontinuidade em .

Passo 3

Devido a essa descontinuidade, não podemos calcular a integral de a diretamente. Precisamos dividir a integral em três partes:
  1. De até ,
  2. De até .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de e também para tendendo ao infinito. Isso nos ajudará a determinar se cada parte da integral converge ou diverge.

Passo 5

Para próximo de , o denominador tende a zero, o que faz com que cresça muito, possivelmente indo para o infinito. Isso sugere que a integral pode divergir nesse ponto.

Passo 6

Além disso, para tendendo a , o termo domina o denominador, então se comporta como . Então, se comporta aproximadamente como , que é uma função que tende a zero à medida que cresce, e sabemos que a integral de converge.

Passo 7

Apesar da parte para tendendo ao infinito convergir, o problema está na descontinuidade em . Como a função tende ao infinito nesse ponto, a integral nessa região não converge.

Resposta

A integral é divergente.

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Considere a função .
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
(6 pontos) Esboce a região delimitada por e e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno da reta utilizando o Método dos discos e o Método das Cascas.
(4 pontos) Marque V para verdadeiro e F para falso nas afirmações abaixo.
( ) A equação representa um cone.
( ) A seção e o traço da superfície de equação são, respectivamente, e
( ) A integral que representa o comprimento de arco da curva para é
( ) O domínio da função é o conjunto .
Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
(b) Marque com um as alternativas corretas, em que C, D e I indicam 2) Se , a série ( ) C ( ) D ( ) I