(4 pontos) Marque V para verdadeiro e F para falso nas afirmações abaixo.
( ) A equação
representa um cone.
( ) A seção
e o traço
da superfície de equação
são, respectivamente,
e
( ) A integral que representa o comprimento de arco da curva
para
é
( ) O domínio da função
é o conjunto
.
( ) A equação
( ) A seção
( ) A integral que representa o comprimento de arco da curva
( ) O domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Ele pede pra gente analisar quatro afirmações e dizer se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadricas, seções e traços de superfícies, cálculo de comprimento de arco, e domínio de funções. Vamos por partes!
Passo 2
Primeira afirmação: “A equação
representa um cone.”
Vamos analisar isso. Uma equação geral de um cone é da forma
, onde os coeficientes de
e
têm o mesmo sinal, e o de
tem sinal oposto. No nosso caso, temos
, que segue essa regra. Isso realmente representa um cone!
Conclusão: Verdadeiro (V)
Passo 3
Segunda afirmação: “A seção
e o traço
da superfície de equação
são, respectivamente,
e
.”
Vamos por partes:
- Para a seção
, substituímos por 1 na equação: → → . Correto! - Para o traço
, colocamos na equação: → . Também está certo!
Conclusão: Verdadeiro (V)
Passo 4
Terceira afirmação: “A integral que representa o comprimento de arco da curva
para
é
.”
O comprimento de arco de uma curva
de
a
é dado por
.
Vamos calcular a derivada de
:
→
.
Então, o comprimento de arco deve ser
.
Na afirmação, está escrito sem o quadrado:
, o que está errado.
Conclusão: Falso (F)
Passo 5
Quarta afirmação: “O domínio da função
é o conjunto
.”
Para encontrar o domínio, precisamos que o denominador não seja zero e que a expressão dentro da raiz seja positiva:
-
→ .
Portanto, o domínio é
, não
.
Conclusão: Falso (F)
Resposta
As afirmações são: V, V, F, F.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(b) (6 pontos). Verifique se a integral é convergente ou divergente.
(b) (6 pontos). Verifique se a integral
Considere a função
.
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
(b) Marque com um as alternativas corretas, em que C, D e I indicam 2) Se
, a série
( ) C ( ) D ( ) I
(b) Marque com um
Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
© O raio de convergência da série é
© O raio de convergência da série