(4 pontos) Marque V para verdadeiro e F para falso nas afirmações abaixo.
( ) A equação representa um cone.
( ) A seção e o traço da superfície de equação são, respectivamente, e
( ) A integral que representa o comprimento de arco da curva para é
( ) O domínio da função é o conjunto .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Ele pede pra gente analisar quatro afirmações e dizer se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadricas, seções e traços de superfícies, cálculo de comprimento de arco, e domínio de funções. Vamos por partes!

Passo 2

Primeira afirmação: “A equação representa um cone.”
Vamos analisar isso. Uma equação geral de um cone é da forma , onde os coeficientes de ² e ² têm o mesmo sinal, e o de ² tem sinal oposto. No nosso caso, temos ²²², que segue essa regra. Isso realmente representa um cone!
Conclusão: Verdadeiro (V)

Passo 3

Segunda afirmação: “A seção e o traço da superfície de equação são, respectivamente, e .”
Vamos por partes:
  • Para a seção , substituímos por 1 na equação: ²² ² ². Correto!
  • Para o traço , colocamos na equação: ²² ²². Também está certo!
Conclusão: Verdadeiro (V)

Passo 4

Terceira afirmação: “A integral que representa o comprimento de arco da curva para é .”
O comprimento de arco de uma curva de a é dado por .
Vamos calcular a derivada de :
.
Então, o comprimento de arco deve ser .
Na afirmação, está escrito sem o quadrado: , o que está errado.
Conclusão: Falso (F)

Passo 5

Quarta afirmação: “O domínio da função é o conjunto .”
Para encontrar o domínio, precisamos que o denominador não seja zero e que a expressão dentro da raiz seja positiva:
  • ²² ²².
Portanto, o domínio é ²², não .
Conclusão: Falso (F)

Resposta

As afirmações são: V, V, F, F.

Exercícios relacionados

Considere a função .
(b) (6 pontos). Verifique se a integral é convergente ou divergente.
Considere a função .
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
(b) Marque com um as alternativas corretas, em que C, D e I indicam 2) Se , a série ( ) C ( ) D ( ) I
Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
© O raio de convergência da série é