(4 pontos) Marque V para verdadeiro e F para falso nas afirmações abaixo.
( ) A equação 2 x^2+2 y^2-z^2=0 representa um cone.
( ) A seção y=1 e o traço z=0 da superfície de equação -x^2+3 y^2-1=z são, respectivamente, z=2-x^2 e -x^2+3 y^2=1
( ) A integral que representa o comprimento de arco da curva y=ln x2+2 x para 3 <= x <= 5 é L=integral3^5 raiz1+(12 x+2) d x
( ) O domínio da função f(x, y)=e^x-yraiz1-x^2-y^2 é o conjunto Dom(f)=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Ele pede pra gente analisar quatro afirmações e dizer se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadricas, seções e traços de superfícies, cálculo de comprimento de arco, e domínio de funções. Vamos por partes!

Passo 2

Primeira afirmação: “A equação representa um cone.”
Vamos analisar isso. Uma equação geral de um cone é da forma , onde os coeficientes de ² e ² têm o mesmo sinal, e o de ² tem sinal oposto. No nosso caso, temos ²²², que segue essa regra. Isso realmente representa um cone!
Conclusão: Verdadeiro (V)

Passo 3

Segunda afirmação: “A seção e o traço da superfície de equação são, respectivamente, e .”
Vamos por partes:
  • Para a seção , substituímos por 1 na equação: ²² ² ². Correto!
  • Para o traço , colocamos na equação: ²² ²². Também está certo!
Conclusão: Verdadeiro (V)

Passo 4

Terceira afirmação: “A integral que representa o comprimento de arco da curva para é .”
O comprimento de arco de uma curva de a é dado por .
Vamos calcular a derivada de :
.
Então, o comprimento de arco deve ser .
Na afirmação, está escrito sem o quadrado: , o que está errado.
Conclusão: Falso (F)

Passo 5

Quarta afirmação: “O domínio da função é o conjunto .”
Para encontrar o domínio, precisamos que o denominador não seja zero e que a expressão dentro da raiz seja positiva:
  • ²² ²².
Portanto, o domínio é ²², não .
Conclusão: Falso (F)

Resposta

As afirmações são: V, V, F, F.

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