(6 pontos) Esboce a região R delimitada por y = raiz(x) / 2, y = 4 e x = 0 e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta y = -2 utilizando o Método dos discos e o Método das Cascas.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para esboçar a região delimitada pelas curvas , e . Depois, precisamos encontrar as integrais que representam o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno da reta usando o Método dos Discos e o Método das Cascas. Vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as funções que delimitam a região :
  • : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  • : Uma reta horizontal.
  • : O eixo .
Precisamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração.

Passo 3

Encontrando os pontos de interseção entre e :
Então, a região está entre e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método dos Discos. Esse método envolve cortar o sólido em discos perpendiculares ao eixo de rotação. A distância do eixo de rotação até uma função será:
A área do disco será . Integrando de a , temos a integral para o volume pelo Método dos Discos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Método das Cascas. Esse método utiliza cascas cilíndricas verticais. A distância vertical de uma casca até o eixo de rotação é:
A altura da casca é a distância entre e . A circunferência da casca tem raio . Então, a área da casca é . Integrando de a , temos a integral para o volume pelo Método das Cascas:

Resposta

As integrais que representam o volume do sólido são:
Método dos Discos:
Método das Cascas:

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