(6 pontos) Esboce a região
delimitada por
e
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
utilizando o Método dos discos e o Método das Cascas.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para esboçar a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Depois, precisamos encontrar as integrais que representam o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno da reta
usando o Método dos Discos e o Método das Cascas. Vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as funções que delimitam a região
:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita. -
: Uma reta horizontal. -
: O eixo .
Precisamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração.
Passo 3
Encontrando os pontos de interseção entre
e
:
Então, a região
está entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método dos Discos. Esse método envolve cortar o sólido em discos perpendiculares ao eixo de rotação. A distância do eixo de rotação
até uma função
será:
A área do disco será
. Integrando de
a
, temos a integral para o volume pelo Método dos Discos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Método das Cascas. Esse método utiliza cascas cilíndricas verticais. A distância vertical de uma casca até o eixo de rotação
é:
A altura da casca é a distância entre
e
. A circunferência da casca tem raio
. Então, a área da casca é
. Integrando de
a
, temos a integral para o volume pelo Método das Cascas:
Resposta
As integrais que representam o volume do sólido são:
Método dos Discos:
Método das Cascas:
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é contínua. Justifique a sua resposta.
(6 pontos) Determine área da região limitada pelos gráficos das funções
e
.
Considere a função
.
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
(a) (1 ponto). Em quais intervalos esta função é contínua?
Considere a função
.
(b) (6 pontos). Verifique se a integral é convergente ou divergente.
(b) (6 pontos). Verifique se a integral