Suponha que as séries de potências sum bk(x-3)^k e sum ck(x-3)^k têm raios de convergência R=4 e R=6, respectivamente.
(b) Marque com um X as alternativas corretas, em que C, D e I indicam 2) Se x=7, a série sum ck(x-3)^k ( ) C ( ) D ( ) I

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas séries de potências:
sum bk(x-3)^k com raio de convergência R=4 ê
sum ck(x-3)^k com raio de convergência R=6 ê
A questão (b) nos pede para marcar com um X as alternativas corretas sobre a série quando . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de raio de convergência e como ele nos ajuda a determinar se a série converge ou não para um valor específico de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências indica o intervalo em que a série converge. Especificamente, a série converge para todos os valores de tais que e diverge quando . No caso do nosso exercício, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à série , que tem raio de convergência . Queremos saber se a série converge quando .

Passo 4

Calculamos a diferença |7 - 3| = 4 para :
Como , estamos dentro do raio de convergência.

Passo 5

De acordo com o conceito de raio de convergência, se , a série converge. Portanto, para , a série converge.

Resposta

A série converge quando . Portanto, marque um X na alternativa C.

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