Considere a função
Encontre valores reais para e tais que a função seja contínua nos pontos e 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os valores de , e de uma função definida por partes, de modo que ela seja contínua nos pontos e . Isso significa que, nesses pontos, os limites laterais da função devem ser iguais ao valor que a função assume nesses pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade no ponto . Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ) deve ser igual a , que é o valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Podemos simplificar a expressão:
Agora, substituímos :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Note que pode ser fatorado:
Agora, substituímos :
Então,

Passo 5

Para a função ser contínua em , os limites laterais devem ser iguais e também iguais a :
Isso nos dá duas equações:

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, calculamos os limites quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ), e igualamos ao valor da função em , que é quando .

Passo 7

Primeiro, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
Substituindo :
Então,

Passo 8

Agora, o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
Substituindo :
Então,

Passo 9

Para a função ser contínua em , os limites laterais devem ser iguais e também iguais ao valor da função em :
Resolvendo para :

Resposta

Os valores que tornam a função contínua nos pontos e são:

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