Encontre valores reais para e tais que a função seja contínua nos pontos e 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os valores de , e de uma função definida por partes, de modo que ela seja contínua nos pontos e . Isso significa que, nesses pontos, os limites laterais da função devem ser iguais ao valor que a função assume nesses pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade no ponto . Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda () e pela direita () deve ser igual a , que é o valor da função em .
Passo 3
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ():
Podemos simplificar a expressão:
Agora, substituímos :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ():
Note que pode ser fatorado:
Agora, substituímos :
Então,
Passo 5
Para a função ser contínua em , os limites laterais devem ser iguais e também iguais a :
Isso nos dá duas equações:
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, calculamos os limites quando se aproxima de 2 pela esquerda () e pela direita (), e igualamos ao valor da função em , que é quando .
Passo 7
Primeiro, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ():
Substituindo :
Então,
Passo 8
Agora, o limite quando se aproxima de 2 pela direita ():
Substituindo :
Então,
Passo 9
Para a função ser contínua em , os limites laterais devem ser iguais e também iguais ao valor da função em :
Resolvendo para :
Resposta
Os valores que tornam a função contínua nos pontos e são: