Encontre valores reais para alpha, beta e gamma tais que a função f seja contínua nos pontos x0=1 e x0= 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os valores de , e de uma função definida por partes, de modo que ela seja contínua nos pontos e . Isso significa que, nesses pontos, os limites laterais da função devem ser iguais ao valor que a função assume nesses pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade no ponto . Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda () e pela direita () deve ser igual a , que é o valor da função em .
Passo 3
Vamos calcular o limite quando limx to 1^- f(x) = limx to 1^- 2x^3 - 23x^2 - 3 se aproxima de 1 pela esquerda ( 2x^3 - 23x^2 - 3 = 2(x^3 - 1)3(x^2 - 1) = 2(x - 1)(x^2 + x + 1)3(x - 1)(x + 1) = 2(x^2 + x + 1)3(x + 1) ):
2(1^2 + 1 + 1)3(1 + 1) = 2(3)6 = 1
Podemos simplificar a expressão:
limx to 1^- f(x) = 1
Agora, substituímos :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ beta(x^2 - 1)x - 1 se aproxima de 1 pela direita ( beta(x - 1)(x + 1)x - 1 = beta(x + 1) ):
beta(1 + 1) = 2beta
Note que limx to 1^+ f(x) = 2beta pode ser fatorado:
Agora, substituímos :
Então,
Passo 5
Para a função ser contínua em 1 = alpha = 2beta , os limites laterais devem ser iguais e também iguais a :
Isso nos dá duas equações:
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, calculamos os limites quando se aproxima de 2 pela esquerda () e pela direita (), e igualamos ao valor da função em , que é quando .
Passo 7
Primeiro, o limite quando limx to 2^- f(x) = limx to 2^- beta(x^2 - 1)x - 1 se aproxima de 2 pela esquerda ( 12(4 - 1)2 - 1 = 12 times 31 = 32 ):
limx to 2^- f(x) = 32
Substituindo :
Então,
Passo 8
Agora, o limite quando limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ gamma(x^2 + 1)2x se aproxima de 2 pela direita ( gamma(4 + 1)4 = 5gamma4 ):
limx to 2^+ f(x) = 5gamma4
Substituindo :
Então,
Passo 9
Para a função ser contínua em 32 = 5gamma4 , os limites laterais devem ser iguais e também iguais ao valor da função em 5gamma4 = 32 Rightarrow 5gamma = 6 Rightarrow gamma = 65 :
Resolvendo para :
Resposta
Os valores que tornam a função alpha = 1, beta = 12, gamma = 65 contínua nos pontos e são: