Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis (Não esqueça de manter a constante na resposta final).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação para facilitar a resolução. Vamos precisar usar integração para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável: o lado esquerdo com
e o lado direito com
. Isso facilita a integração.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação separada.
Integral do lado esquerdo:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Então, a integral completa do lado esquerdo é:
Integral do lado direito:
Também separamos essa integral:
Então, a integral completa do lado direito é:
Passo 4
Após integrar ambos os lados, igualamos as duas expressões e adicionamos a constante de integração
:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada. Ela relaciona
e
de forma que, para cada valor de
, você pode encontrar o correspondente valor de
que satisfaz a equação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por
onde
é a constante de integração.