Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis (Não esqueça de manter a constante na resposta final).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados diferentes da equação para facilitar a resolução. Vamos precisar usar integração para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Multiplicando ambos os lados por e por , temos:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável: o lado esquerdo com e o lado direito com . Isso facilita a integração.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação separada.
Integral do lado esquerdo:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Então, a integral completa do lado esquerdo é:
Integral do lado direito:
Também separamos essa integral:
Então, a integral completa do lado direito é:

Passo 4

Após integrar ambos os lados, igualamos as duas expressões e adicionamos a constante de integração :
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada. Ela relaciona e de forma que, para cada valor de , você pode encontrar o correspondente valor de que satisfaz a equação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por
onde é a constante de integração.

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