Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
Determine os pontos de descontinuidade de f e diga quais são removíveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função definida por partes e pede para identificar os pontos onde essa função não é contínua, além de indicar quais dessas descontinuidades são removíveis. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição da função:
f(x)= x+5, & se x < -2 - x^2 - 2x + 3, & se -2 <= x < 1 - x + 2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x = 3
A função está dividida em quatro partes, dependendo do valor de . Precisamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em , e .

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade em limx to -2^- f(x) = (-2) + 5 = 3 .
  • Limite pela esquerda ( f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3 ):
    Usamos a primeira parte da função: .
    Substituindo :
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a segunda parte da função: .
    Substituindo :
  • Valor da função em :
    A função está definida como .
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e coincidem com o valor da função, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em limx to 1^- f(x) = -1^2 - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 .
  • Limite pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = -1 + 2 = 1 ):
    Usamos a segunda parte da função: f(1) = -1 + 2 = 1 .
    Substituindo :
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a terceira parte da função: .
    Substituindo :
  • Valor da função em :
    Usando a terceira definição, já que pertence a :
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), então a função apresenta uma descontinuidade em . Essa descontinuidade é do tipo salto.

Passo 5

Por último, vamos verificar a continuidade em limx to 3^- f(x) = -3 + 2 = -1 .
  • Limite pela esquerda ( limx to 3^+ f(x) = -3 + 2 = -1 ):
    Usamos a terceira parte da função: .
    Substituindo :
  • Limite pela direita ( ):
    Também usamos a terceira parte da função, já que para e , .
    Substituindo :
  • Valor da função em :
    A função está definida como .
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são iguais ( ), mas o valor da função em é diferente ( ). Isso caracteriza uma descontinuidade removível em .

Resposta

A função apresenta descontinuidade nos pontos e . Desses, a descontinuidade em é removível.

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