Determine os pontos de descontinuidade de e diga quais são removíveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função definida por partes e pede para identificar os pontos onde essa função não é contínua, além de indicar quais dessas descontinuidades são removíveis. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da função:
A função está dividida em quatro partes, dependendo do valor de . Precisamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em , e .
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em .
Limite pela esquerda ():
Usamos a primeira parte da função: .
Substituindo :
Limite pela direita ():
Usamos a segunda parte da função: .
Substituindo :
Valor da função em :
A função está definida como .
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e coincidem com o valor da função, é contínua em .
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em .
Limite pela esquerda ():
Usamos a segunda parte da função: .
Substituindo :
Limite pela direita ():
Usamos a terceira parte da função: .
Substituindo :
Valor da função em :
Usando a terceira definição, já que pertence a :
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (), então a função apresenta uma descontinuidade em . Essa descontinuidade é do tipo salto.
Passo 5
Por último, vamos verificar a continuidade em .
Limite pela esquerda ():
Usamos a terceira parte da função: .
Substituindo :
Limite pela direita ():
Também usamos a terceira parte da função, já que para e , .
Substituindo :
Valor da função em :
A função está definida como .
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são iguais (), mas o valor da função em é diferente (). Isso caracteriza uma descontinuidade removível em .
Resposta
A função apresenta descontinuidade nos pontos e . Desses, a descontinuidade em é removível.