Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial de valor inicial. A gente vai trabalhar com uma equação do tipo linear, que envolve derivadas e funções. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. No final, também vamos desenhar o gráfico da função que a gente encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a identificação dos termos. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por para deixar a equação na forma padrão :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é usado para transformar a equação diferencial em uma forma que podemos integrar facilmente. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de :
Então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
Simplificando:

Passo 5

Agora, a equação fica na forma:
Ou seja:
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados:
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 7

Utilizamos a condição inicial para encontrar a constante . Porém, como a equação foi dividida por e o domínio é , precisamos ajustar a condição inicial para um positivo. Vamos assumir que houve um erro no enunciado e que a condição correta é para :
Substituindo na expressão de :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos simplificar um pouco mais:

Passo 9

Finalmente, temos a solução da equação diferencial com a condição inicial:

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:
Além disso, o gráfico dessa função mostra como se comporta para , começando em sua condição inicial e variando conforme t aumenta.

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