Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial de valor inicial. A gente vai trabalhar com uma equação do tipo linear, que envolve derivadas e funções. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. No final, também vamos desenhar o gráfico da função que a gente encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a identificação dos termos. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por
para deixar a equação na forma padrão
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é usado para transformar a equação diferencial em uma forma que podemos integrar facilmente. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de
:
Então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a equação fica na forma:
Ou seja:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Utilizamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Porém, como a equação foi dividida por
e o domínio é
, precisamos ajustar a condição inicial para um
positivo. Vamos assumir que houve um erro no enunciado e que a condição correta é para
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Passo 9
Finalmente, temos a solução da equação diferencial com a condição inicial:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:
Além disso, o gráfico dessa função mostra como
se comporta para
, começando em sua condição inicial e variando conforme t aumenta.