Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante e entender como aplicar métodos de integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes na equação: aqui,
e
. A equação está no formato padrão de uma equação linear:
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante (
) usando a fórmula:
Esse fator nos ajuda a simplificar a equação diferencial para facilitar a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
.
Passo 6
Para resolver a integral do lado direito, usamos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim:
Passo 7
Colocando tudo junto:
Agora, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Para visualizar essa função, você pode plotar
em um gráfico, onde
é uma constante que determina a posição da curva.