Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando
cresce sem limite) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e álgebra de expressões com radicais. Precisaremos manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão
. Para simplificar essa expressão, vamos fatorar
dentro da raiz:
Aqui, usamos a propriedade da raiz que permite separar o
como
fora da raiz.
Passo 3
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Podemos fatorar o
:
Passo 4
Para encontrar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito, analisamos o que acontece dentro da raiz:
Quando
cresce muito,
se aproxima de 0. Assim, temos:
Isso é uma aproximação usando a expansão de Taylor para raízes próximas a 1.
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão:
Note que o
no numerador e denominador se cancela, deixando apenas
.
Resposta
A sequência
converge para
.