Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
{raiz(n^2 + 3n) - n}_{n=1}^{+infinito}

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por {raiz(n^2 + 3n) - n}_{n=1}^{+infinito}. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando n cresce sem limite) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e álgebra de expressões com radicais. Precisaremos manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Para simplificar essa expressão, vamos fatorar n^2 dentro da raiz:
Aqui, usamos a propriedade da raiz que permite separar o n^2 como n fora da raiz.

Passo 3

Agora, substituímos de volta na expressão original:
Podemos fatorar o n:

Passo 4

Para encontrar o limite dessa expressão quando n tende ao infinito, analisamos o que acontece dentro da raiz:
Quando n cresce muito, se aproxima de 0. Assim, temos:
Isso é uma aproximação usando a expansão de Taylor para raízes próximas a 1.

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão:
Note que o n no numerador e denominador se cancela, deixando apenas 3/2.

Resposta

A sequência {raiz(n^2 + 3n) - n}_{n=1}^{+infinito} converge para 3/2.

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