Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências, onde queremos saber o comportamento da sequência quando
cresce indefinidamente. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa função conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência convergir ou divergir. Se a sequência tiver um limite finito quando
tende ao infinito, ela é convergente. Caso contrário, se o limite for infinito ou não existir, a sequência é divergente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão da sequência:
. Aqui, o termo de cima é
e o de baixo é
. Quando
cresce muito, os termos de maior grau (aqueles com potências maiores) dominam o comportamento da função. Então, o
no numerador e o
no denominador são os termos principais.
Passo 4
Para encontrar o limite, dividimos todos os termos pelo maior grau presente, que é
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito:
-
tende a 0 porque estamos dividindo 2 por um número cada vez maior. -
também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, a expressão fica:
Passo 6
Dividir por zero não é definido e, nesse contexto, indica que o limite tende ao infinito. Portanto:
Resposta
A sequência
diverge, pois seu limite tende ao infinito conforme
cresce.