Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
{n^2 / (2n + 1)} {n=1}^{+infinito}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências, onde queremos saber o comportamento da sequência quando cresce indefinidamente. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa função conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência convergir ou divergir. Se a sequência tiver um limite finito quando tende ao infinito, ela é convergente. Caso contrário, se o limite for infinito ou não existir, a sequência é divergente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão da sequência: . Aqui, o termo de cima é e o de baixo é . Quando cresce muito, os termos de maior grau (aqueles com potências maiores) dominam o comportamento da função. Então, o no numerador e o no denominador são os termos principais.

Passo 4

Para encontrar o limite, dividimos todos os termos pelo maior grau presente, que é :

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito:
  • tende a 0 porque estamos dividindo 2 por um número cada vez maior.
  • também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, a expressão fica:

Passo 6

Dividir por zero não é definido e, nesse contexto, indica que o limite tende ao infinito. Portanto:

Resposta

A sequência diverge, pois seu limite tende ao infinito conforme cresce.

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