Considere a função f(x) = cos(pi/2 * x). Defina as sequências {a_n}_{n=1}^{+\infty} e {b_n}_{n=1}^{+\infty}, por a_n = f(2 * n) e b_n = f(2n + 1)
{b_n}_{n=1}^{+\infty} converge ? Se convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e duas sequências definidas por e . A pergunta é: a sequência converge? Se sim, qual é o limite dela?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites em funções trigonométricas. Precisamos entender como a função cosseno se comporta e como isso afeta as sequências e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas sequências. A sequência significa que, para cada valor de , substituímos na função por . Então, temos:
Vamos simplificar isso para facilitar a análise.

Passo 3

Vamos distribuir o dentro do parêntese:
Agora, temos . Vamos lembrar como a função cosseno se comporta para diferentes múltiplos de .

Passo 4

Sabemos que e que . No entanto, para termos uma expressão geral, podemos usar a periodicidade do cosseno. A função cosseno é periódica com período , mas vamos analisar .
Para valores inteiros de , será múltiplo de . Então, para cada :
  • Se for par, será múltiplo de e .
  • Se for ímpar, será mais múltiplos de , então .
Na verdade, observe que independente de ser par ou ímpar, sempre resulta em 0.

Passo 5

Como vimos, para qualquer valor de , seja ele par ou ímpar, . Portanto, a sequência é uma sequência constante onde todos os termos são iguais a 0.

Resposta

A sequência converge, e o limite é .

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