Considere a função
. Defina as sequências
e
, por
e
converge ? Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e duas sequências definidas por
e
. A pergunta é: a sequência
converge? Se sim, qual é o limite dela?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites em funções trigonométricas. Precisamos entender como a função cosseno se comporta e como isso afeta as sequências
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas sequências. A sequência
significa que, para cada valor de
, substituímos na função
por
. Então, temos:
Vamos simplificar isso para facilitar a análise.
Passo 3
Vamos distribuir o
dentro do parêntese:
Agora, temos
. Vamos lembrar como a função cosseno se comporta para diferentes múltiplos de
.
Passo 4
Sabemos que
e que
. No entanto, para termos uma expressão geral, podemos usar a periodicidade do cosseno. A função cosseno é periódica com período
, mas vamos analisar
.
Para valores inteiros de
,
será múltiplo de
. Então, para cada
:
- Se
for par, será múltiplo de e . - Se
for ímpar, será mais múltiplos de , então .
Na verdade, observe que independente de
ser par ou ímpar,
sempre resulta em 0.
Passo 5
Como vimos, para qualquer valor de
, seja ele par ou ímpar,
. Portanto, a sequência
é uma sequência constante onde todos os termos são iguais a 0.
Resposta
A sequência
converge, e o limite é
.