Use o quociente a_{n+1}/a_{n} para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{n/(2n+1)} com n=1 até infinito

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a sequência é estritamente crescente ou decrescente usando o quociente a_{n+1}/a_{n}. Esse problema está relacionado ao estudo de sequências e séries na matemática, especificamente analisando o comportamento das sequências. Para resolver, precisaremos calcular o quociente a_{n+1}/a_{n} e interpretar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da sequência. Temos:
Para encontrar a_{n+1}, substituímos n por na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o quociente a_{n+1}/a_{n}:

Passo 4

Simplificamos a expressão resultante:
Podemos dividir numerador e denominador por para facilitar a análise:

Passo 5

Observando o limite conforme n cresce, os termos e tendem a zero. Assim:

Passo 6

Como o quociente a_{n+1}/a_{n} tende a 1, precisamos verificar para valores específicos de n se o quociente é maior ou menor que 1.
Vamos calcular para alguns valores de n:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Observamos que para os valores testados de n, o quociente a_{n+1}/a_{n} é maior que 1, indicando que cada termo subsequente é maior que o anterior. Além disso, conforme n aumenta, o quociente se aproxima de 1, mas permanece maior que 1.

Resposta

A sequência �� estritamente crescente.

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